Question

Пластина ограничена прямыми у=2х, у=х/2, х=1 найти площадь фигуры, массу пластины, статические моменты относительно осей х и у плотность задается уравнением плотность=2х+1

Answer 1

$y=2x;\ y=\dfrac{x}{2}$

$2x=\dfrac{x}{2}$

$2x-\dfrac{x}{2} =0$

$\dfrac{3x}{2} =0$

$x=0$

$\Rightarrow 0\leqslant x\leqslant 1;\ \dfrac{x}{2} \leqslant y\leqslant 2x$

Символом $\boxed{=}$ будем разрывать вычисление внешнего интеграла для вычисления внутреннего.

Площадь:

$S=\iint\limits_D dxdy=\int\limits^1_0dx \int\limits^{2x}_{\frac{x}{2}}dy\ \boxed{=}$

$\int\limits^{2x}_{\frac{x}{2} }dy=y|^{2x}_{\frac{x}{2}}=2x-\dfrac{x}{2} =\dfrac{3x}{2}$

$\boxed{=}\int\limits^1_0\dfrac{3x}{2} dx=\dfrac{3}{2} \int\limits^1_0xdx=\dfrac{3}{2} \cdot \left.\dfrac{x^2}{2}\right|_0^1=\dfrac{3}{2} \cdot \left(\dfrac{1^2}{2}-\dfrac{0^2}{2}\right)=\dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{4}$

Масса:

$m=\iint\limits_D \rho(x;y)dxdy=\int\limits^1_0dx \int\limits^{2x}_{\frac{x}{2} }(2x+1)dy\ \boxed{=}$

$\int\limits^{2x}_{\frac{x}{2} }(2x+1)dy=(2x+1)\int\limits^{2x}_{\frac{x}{2} }dy=(2x+1)y|^{2x}_{\frac{x}{2} }=$

$=(2x+1)\left(2x-\dfrac{x}{2} \right)=(2x+1)\cdot\dfrac{3x}{2}=3x^2+\dfrac{3}{2}x$

$\boxed{=}\int\limits^1_0\left(3x^2+\dfrac{3}{2}x\right)dx =\left.\left(3\cdot\dfrac{x^3}{3} +\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{x^2}{2} \right)\right|_0^1=\left(3\cdot\dfrac{1^3}{3} +\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{1^2}{2} \right)-0=\dfrac{7}{4}$

Статический момент относительно оси х:

$M_x=\iint\limits_D y\rho(x;y)dxdy=\int\limits^1_0dx \int\limits^{2x}_{\frac{x}{2} }y(2x+1)dy\ \boxed{=}$

$\int\limits^{2x}_{\frac{x}{2} }y(2x+1)dy=(2x+1)\int\limits^{2x}_{\frac{x}{2} }ydy=(2x+1)\left.\dfrac{y^2}{2} \right|^{2x}_{\frac{x}{2}}=(2x+1)\cdot\dfrac{(2x)^2-\left(\dfrac{x}{2}\right)^2 }{2}=$

$=(2x+1)\cdot\dfrac{4x^2-\dfrac{x^2}{4} }{2}=(2x+1)\cdot\dfrac{15x^2}{8} =\dfrac{15}{4}x^3+\dfrac{15}{8}x^2$

$\boxed{=}\int\limits^1_0\left(\dfrac{15}{4}x^3+\dfrac{15}{8}x^2\right)dx=\left.\left(\dfrac{15}{4}\cdot\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{15}{8}\cdot\dfrac{x^3}{3}\right)\right|_0^1$

$=\left(\dfrac{15}{4}\cdot\dfrac{1^4}{4}+\dfrac{15}{8}\cdot\dfrac{1^3}{3}\right)-0=\dfrac{15}{16}+\dfrac{5}{8}=\dfrac{25}{16}$

Статический момент относительно оси y:

$M_y=\iint\limits_D x\rho(x;y)dxdy=\int\limits^1_0dx \int\limits^{2x}_{\frac{x}{2}}x(2x+1)dy\ \boxed{=}$

$\int\limits^{2x}_{\frac{x}{2} }x(2x+1)dy=x(2x+1)\int\limits^{2x}_{\frac{x}{2} }dy=(2x^2+x)\left.y\right|^{2x}_{\frac{x}{2}}=$

$=(2x^2+x)\left(2x-\dfrac{x}{2}\right)=(2x^2+x)\cdot\dfrac{3x}{2}=3x^3+\dfrac{3}{2}x^2$

$\boxed{=}\int\limits^1_0\left(3x^3+\dfrac{3}{2}x^2\right)dx =\left.\left(3\cdot\dfrac{x^4}{4} +\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{x^3}{3}\right)\right|_0^1=\left(3\cdot\dfrac{1^4}{4} +\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{1^3}{3}\right)-0=\dfrac{5}{4}$

Answer 2

Дано: - Пластина ограничена прямыми у=2х, у=х/2, х=1. - Плотность пластины задается уравнением плотность=2х+1.

Найдем площадь фигуры:

Для нахождения площади фигуры, ограниченной кривыми, мы можем использовать интеграл. Площадь фигуры будет равна интегралу от y=х/2 до y=2х по переменной x.

Вычисление площади:

$$ \text{Площадь} = \int_{y=х/2}^{y=2х} dx $$

Уравнения y=х/2 и y=2х можно записать в зависимости от y и x:

$$ y = \frac{x}{2} \quad \text{(1)} $$

$$ y = 2x \quad \text{(2)} $$

Чтобы выразить x через y, мы можем умножить уравнение (1) на 2:

$$ 2y = x \quad \text{(3)} $$

Теперь мы можем вычислить площадь фигуры:

$$ \text{Площадь} = \int_{y=0}^{y=1} (2y - \frac{y}{2}) dx $$

$$ \text{Площадь} = \int_{y=0}^{y=1} (\frac{3y}{2}) dx $$

$$ \text{Площадь} = \frac{3}{2} \int_{y=0}^{y=1} y dx $$

$$ \text{Площадь} = \frac{3}{2} \cdot \frac{y^2}{2} \Bigg|_0^1 $$

$$ \text{Площадь} = \frac{3}{4} $$

Таким образом, площадь фигуры ограниченной прямыми у=2х, у=х/2, х=1 равна 3/4.

Найдем массу пластины:

Чтобы найти массу пластины, нам необходимо знать площадь пластины и ее плотность. Плотность задается уравнением плотность=2х+1.

Масса пластины равна площади, умноженной на плотность:

$$ \text{Масса} = \text{Площадь} \times \text{Плотность} $$

Подставляя значения, которые мы получили ранее, получаем:

$$ \text{Масса} = \frac{3}{4} \times (2х+1) $$

Найдем статические моменты относительно осей х и у:

Статический момент относительно оси х вычисляется по формуле:

$$ \text{Статический момент (относительно оси х)} = \int_{y=0}^{y=1} y \cdot \text{Площадь} \cdot dx $$

Подставляя значения площади фигуры, полученной ранее, получаем:

$$ \text{Статический момент (относительно оси х)} = \int_{y=0}^{y=1} y \cdot \frac{3}{4} \cdot dx $$

$$ \text{Статический момент (относительно оси х)} = \frac{3}{4} \int_{y=0}^{y=1} y \cdot dx $$

$$ \text{Статический момент (относительно оси х)} = \frac{3}{4} \cdot \frac{y^2}{2} \Bigg|_0^1 $$

$$ \text{Статический момент (относительно оси х)} = \frac{3}{8} $$

Статический момент относительно оси у вычисляется по формуле:

$$ \text{Статический момент (относительно оси у)} = \int_{x=0}^{x=1} x \cdot \text{Площадь} \cdot dy $$

Подставляя значения площади фигуры, полученной ранее, получаем:

$$ \text{Статический момент (относительно оси у)} = \int_{x=0}^{x=1} x \cdot \frac{3}{4} \cdot dy $$

$$ \text{Статический момент (относительно оси у)} = \frac{3}{4} \int_{x=0}^{x=1} x \cdot dy $$

$$ \text{Статический момент (относительно оси у)} = \frac{3}{4} \cdot \frac{x^2}{2} \Bigg|_0^1 $$

$$ \text{Статический момент (относительно оси у)} = \frac{3}{8} $$

Таким образом, статический момент относительно осей х и у равен 3/8.