Question

Х²+2х-15<0 х²-6х-7>0 х²+4х-12<0 розв'яжіть квадратну нерівність

Answer 1

$\boxed{ \frak{ \huge attached \: \: file}}.$

Answer 2

Давайте розглянемо кожну нерівність окремо та знайдемо їх розв'язки.

1. Х² + 2х - 15 < 0: Щоб розв'язати цю нерівність, спочатку знайдемо корені квадратного рівняння, яке відповідає цій нерівності. Запишемо рівняння: Х² + 2х - 15 = 0 Факторизуємо це рівняння: (х + 5)(х - 3) = 0 Отримуємо два корені: х = -5 та х = 3. Тепер розташуємо ці два корені на числовій прямій та перевіримо інтервали між ними: (-∞, -5) (-5, 3) (3, +∞) * * * Візьмемо по одній точці з кожного з цих інтервалів та перевіримо значення в цій точці у нерівності. Наприклад: При х = -6 (виберемо точку -6 з інтервалу (-∞, -5)): (-6)² + 2(-6) - 15 = 36 - 12 - 15 = 9 Оскільки 9 > 0, то цей інтервал не задовольняє нерівність. При х = 0 (виберемо точку 0 з інтервалу (-5, 3)): 0² + 2(0) - 15 = -15 Оскільки -15 < 0, то цей інтервал задовольняє нерівність. При х = 4 (виберемо точку 4 з інтервалу (3, +∞)): 4² + 2(4) - 15 = 16 + 8 - 15 = 9 Оскільки 9 > 0, то цей інтервал не задовольняє нерівність. Таким чином, розв'язком нерівності Х² + 2х - 15 < 0 є відкритий інтервал (-5, 3).

2. Х² - 6х - 7 > 0: Знову, почнемо з факторизації квадратного рівняння: Х² - 6х - 7 = 0 (х - 7)(х + 1) = 0 Отримуємо два корені: х = 7 та х = -1. Перевіримо інтервали між цими коренями на числовій прямій: (-∞, -1) (-1, 7) (7, +∞) * * * Виберемо точки з цих інтервалів та перевіримо в них нерівність. Наприклад: При х = -2 (виберемо точку -2 з інтервалу (-∞, -1)): (-2)² - 6(-2) - 7 = 4 + 12 - 7 = 9 Оскільки 9 > 0, то цей інтервал задовольняє нерівність. При х = 0 (виберемо точку 0 з інтервалу (-1, 7)): 0² - 6(0) - 7 = -7 Оскільки -7 < 0, то цей інтервал не задовольняє нерівність. При х = 8 (виберемо точку 8 з інтервалу (7, +∞)): 8² - 6(8) - 7 = 64 - 48 - 7 = 9 Оскільки 9 > 0, то цей інтервал задовольняє нерівність. Таким чином, розв'язком нерівності Х² - 6х - 7 > 0 є об'єднання відкритих інтервалів (-∞, -1) та (7, +∞).

3. Х² + 4х - 12 < 0: Знову факторизуємо квадратне рівняння: Х² + 4х - 12 = 0 (х + 6)(х - 2) = 0 Отримуємо два корені: х = -6 та х = 2. Перевіримо інтервали між цими коренями на числовій прямій: (-∞, -6) (-6, 2) (2, +∞) * * * Виберемо точки з цих інтервалів та перевіримо в них нерівність. Наприклад: При х = -7 (виберемо точку -7 з інтервалу (-∞, -6)): (-7)² + 4(-7) - 12 = 49 - 28 - 12 = 9 Оскільки 9 > 0, то цей інтервал не задовольняє нерівність. При х = 0 (виберемо точку 0 з інтервалу (-6, 2)): 0² + 4(0) - 12 = -12 Оскільки -12 < 0, то цей інтервал задовольняє нерівність. При х = 3 (виберемо точку 3 з інтервалу (2, +∞)): 3² + 4(3) - 12 = 9 + 12 - 12 = 9 Оскільки 9 > 0, то цей інтервал не задовольняє нерівність. Таким чином, розв'язком нерівності Х² + 4х - 12 < 0 є відкритий інтервал (-6, 2).

Отже, розв'язки квадратних нерівностей такі: 1. Х² + 2х - 15 < 0: (-5, 3) 2. Х² - 6х - 7 > 0: (-∞, -1) ∪ (7, +∞) 3. Х² + 4х - 12 < 0: (-6, 2)