Question

Докажите неравенство x4 + 4у2 +9 ≥ -2x2у + 3х2 – 6y.​

Answer 1

Ответ:

x⁴ + 4y² + 9≥ -2x²y + 3x² - 6y

x⁴ + x²(2y-3) + 6y + 9 + 4y² ≥ 0

(x²-(y-1.5))² - (y-1.5)² + 6y + 9 + 4y² = 0

(x² + y - 1.5)² + 3*(y+1.5)² ≥ 0

Левая часть неравенства всегда неотрицательно.

Answer 2

Нам дано неравенство: x^4 + 4y^2 + 9 ≥ -2x^2y + 3x^2 - 6y.

Для начала, перенесем все члены в левую часть неравенства: x^4 + 2x^2y + 4y^2 - 3x^2 + 6y + 9 ≥ 0.

Затем, попытаемся разложить левую часть неравенства на множители: (x^4 - 3x^2 + 4) + (2x^2y + 6y + 9) ≥ 0.

Посмотрим на первый множитель: x^4 - 3x^2 + 4. Мы можем заметить, что это квадратный трехчлен, и он всегда будет положительным или равным нулю для любого значения x. То есть, x^4 - 3x^2 + 4 ≥ 0.

Теперь рассмотрим второй множитель: 2x^2y + 6y + 9. Мы можем вынести общий множитель и получим: (2x^2 + 6) * y + 9. Здесь мы видим, что (2x^2 + 6) всегда будет положительным или равным нулю для любого значения x, а y - это переменная, которая может быть любым числом.

Таким образом, мы можем заключить, что для любых значений x и y, неравенство x^4 + 4y^2 + 9 ≥ -2x^2y + 3x^2 - 6y будет выполняться, так как оба множителя в левой части неравенства являются положительными или равными нулю.

То есть, данное неравенство верно для всех значений x и y.