Question

Величини кутів трикутника утворюють арифметичну прогресію. Яка градусна міра середнього за величиною кута трикутника?

Answer 1

Ответ:

Средний по величине угол треугольника равен 60°

Объяснение:

Величины углов треугольника образуют арифметическую прогрессию. Найти градусную меру среднего по величине угла.

• Арифметической прогрессией называется ряд чисел, каждый член которого отличается от предыдущего на одну и ту же величину.
• Свойство арифметической прогрессии: каждый ее член равен среднему арифметическому двух соседних членов:
  $\displaystyle a_{n} = \frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$

1) Обозначим углы треугольника a₁, a₂, a₃.

Средний по величине угол треугольника равен среднему арифметическому двух других углов (или их полусумме).

$\displaystyle a_{2} = \frac{a_{1}+a_{3}}{2}$

2) Сумма углов треугольника равна 180°.

a₁ + a₂ + a₃ = 180°   ⇒

a₁ + a₃ = 180 - a₂

3) Составим уравнение и решим его.

Подставим выражение a₁ + a₃ = 180 - a₂ в выражение для a₂.

$\displaystyle a_{2} = \frac{180 - a_{2}}{2}$

умножим обе части уравнения на 2:

2a₂ = 180 - a₂;

перенесем неизвестное слагаемое в левую часть уравнения:

3a₂ = 180;

разделим обе части уравнения на коэффициент 3:

a₂ = 180 : 3;

a₂ = 60.

Средний по величине угол треугольника равен 60°

Такой же результат мы получили бы, если бы использовали формулу суммы арифметической прогрессии.

Answer 2

Якщо величини кутів трикутника утворюють арифметичну прогресію, то кожний наступний кут буде більшим за попередній на одну й ту саму різницю. Нехай ця різниця буде розмічена як d.

Визначимо кути трикутника за допомогою арифметичної прогресії: перший кут: a другий кут: a + d третій кут: a + 2d

Сума внутрішніх кутів трикутника завжди дорівнює 180 градусів. Тому ми можемо записати рівняння:

a + (a + d) + (a + 2d) = 180

Згрупуємо подібні доданки:

3a + 3d = 180

Розділимо обидві частини на 3:

a + d = 60

Отже, середній кут трикутника (a + d) має градусну міру 60 градусів.