Question

X^2-2xy-3y^2-13=0найдите сумма всех целочисленных x,y удовлетваряющих уравнению​

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

$x^2-2xy-3y^2-13=0\\x^2-2xy+y^2-4y^2-13=0\\(x-y)^2-(2y)^2=13\\(x-3y)(x+y)=13$

Ну а теперь очевидный переход к системам:

$\left\{\begin{array}{c}x-3y=1\\x+y=13\end{array}\right;\;\;\;\;\left\{\begin{array}{c}x-3y=-1\\x+y=-13\end{array}\right;\;\;\;\;\left\{\begin{array}{c}x-3y=13\\x+y=1\end{array}\right;\;\;\;\;\left\{\begin{array}{c}x-3y=-13\\x+y=-1\end{array}\right;$

Получив все искомые пары, понимаем, что ответом будет число $0$.

Задание выполнено!

Answer 2

Чтобы найти сумму всех целочисленных x и y, удовлетворяющих уравнению x^2 - 2xy - 3y^2 - 13 = 0, нам нужно решить это уравнение и затем просуммировать все целочисленные решения.

Давайте рассмотрим эту задачу шаг за шагом.

Шаг 1: Решение уравнения

Для начала, давайте попробуем решить уравнение x^2 - 2xy - 3y^2 - 13 = 0. Оно является квадратным уравнением относительно переменной x.

Мы можем воспользоваться методом завершения квадрата, чтобы привести уравнение к виду (x - a)^2 - b = 0, где a и b - некоторые константы. Это позволит нам найти решение уравнения.

Раскроем квадрат в уравнении x^2 - 2xy - 3y^2 - 13 = 0:

(x - y)^2 - 4y^2 - 13 = 0

Теперь мы видим, что у нас есть квадратное уравнение относительно выражения (x - y). Давайте обозначим (x - y) как z.

Теперь у нас есть новое уравнение:

z^2 - 4y^2 - 13 = 0

Это уравнение является квадратным уравнением относительно переменной z. Мы можем решить его, используя стандартные методы решения квадратных уравнений.

Шаг 2: Решение нового уравнения

Рассмотрим уравнение z^2 - 4y^2 - 13 = 0. Мы видим, что это разность квадратов, поэтому мы можем преобразовать его следующим образом:

(z - 2y)(z + 2y) - 13 = 0

Теперь мы можем рассмотреть два случая:

Случай 1: z - 2y - 13 = 0 и z + 2y + 1 = 0

Случай 2: z - 2y + 1 = 0 и z + 2y - 13 = 0

Шаг 3: Решение каждого случая

Случай 1: z - 2y - 13 = 0 и z + 2y + 1 = 0

Решим первое уравнение:

z - 2y - 13 = 0

z = 2y + 13

Подставим это значение во второе уравнение:

2y + 13 + 2y + 1 = 0

4y + 14 = 0

4y = -14

y = -14/4

y = -7/2

Теперь найдем значение z:

z = 2y + 13

z = 2 * (-7/2) + 13

z = -7 + 13

z = 6

Таким образом, мы получили одно решение в этом случае: z = 6, y = -7/2.

Случай 2: z - 2y + 1 = 0 и z + 2y - 13 = 0

Решим первое уравнение:

z - 2y + 1 = 0

z = 2y - 1

Подставим это значение во второе уравнение:

2y - 1 + 2y - 13 = 0

4y - 14 = 0

4y = 14

y = 14/4

y = 7/2

Теперь найдем значение z:

z = 2y - 1

z = 2 * (7/2) - 1

z = 7 - 1

z = 6

Мы получили еще одно решение в этом случае: z = 6, y = 7/2.

Шаг 4: Нахождение значений x

Теперь, когда у нас есть значения z и y, мы можем найти значения x, используя исходное уравнение x^2 - 2xy - 3y^2 - 13 = 0.

Давайте подставим значения z и y, которые мы нашли, в это уравнение:

(x - y)^2 - 4y^2 - 13 = 0

(x - (-7/2))^2 - 4 * (-7/2)^2 - 13 = 0

(x + 7/2)^2 - 49/2 - 13 = 0

(x + 7/2)^2 - 49/2 - 26/2 = 0

(x + 7/2)^2 - 75/2 = 0

(x + 7/2)^2 = 75/2

Теперь возьмем квадратный корень от обеих сторон:

x + 7/2 = ±√(75/2)

x + 7/2 = ±(5√3)/2

Выразим x:

x = -7/2 ± (5√3)/2

Таким образом, у нас есть два значения x, соответствующих каждому из двух найденных ранее значений y и z.

Шаг 5: Сумма всех целочисленных решений

Теперь, когда у нас есть значения x и y, мы можем просуммировать все целочисленные решения.

Для каждой комбинации целочисленных значений x и y, удовлетворяющих уравнению x^2 - 2xy - 3y^2 - 13 = 0, мы найдем сумму x + y.

В данном случае, у нас есть две комбинации:

1. x = -7/2 + (5√3)/2, y = -7/2 2. x = -7/2 - (5√3)/2, y = 7/2

Для каждой комбинации, мы можем вычислить сумму x + y:

1. (-7/2 + (5√3)/2) + (-7/2) = -7/2 - 7/2 + (5√3)/2 = -7 - 7 + (5√3)/2 = -14 + (5√3)/2 2. (-7/2 - (5√3)/2) + (7/2) = -7/2 + 7/2 - (5√3)/2 = 0 - (5√3)/2 = -(5√3)/2

Таким образом, сумма всех целочисленных значений x и y, удовлетворяющих уравнению x^2 - 2xy - 3y^2 - 13 = 0, равна -14 + (5√3)/2 - (5√3)/2 = -14.

Таким образом, сумма всех целочисленных x и y, удовлетворяющих уравнению x^2 - 2xy - 3y^2 - 13 = 0, равна -14.