Question

В пятизначном числе АБВБА разными буквами обозначены разные цифры, а одинаковыми - одинаковые. Найдите все такие числа, кратные 45. Ответ обоснуйте.

Answer 1

Объяснение:

Под буквой А может скрываться либо 0, либо 5, т.к. числа кратные 45 имеют только их в разряде единиц. 0 быть не может, т.к. тогда число будет четырехзначным, что не подхожит по условию. Значит А это 5.

5БВБ5 - это маска числа, ищем все пятизначные числа, подходящие под нее.

Первое число находим методом подбора.

50805 - 45х1129

Дальше можно заметить последовательность этих чисел, она повторяется через 810, т.к. к прошлому числу добавляется почти тысяча, а также один десяток, что дает нам равенство букв Б.

51615 - 45х1147

52425 - 45х1165

53235 - 45х1183

54045 - 44х1201

Дальше один шаг изменился на 900, т.к. новое число расположено в той же тысяче, что и предыдущее.

54945 - 44х1221

И теперь шаг снова становится 810:

55755 - не подходит по условию, цифры должны быть разными.

56565 - не подходит по условию, цифры должны быть разными.

57375 - 45х1275

58185 - 45х1293

Снова шаг меняется:

59895 - 45х1331 - это последнее число, т.к. дальше будут пятизначные числа с 6 в начале.

Всего получилось 9 чисел, подходящих под условие:

50805, 51615, 52425, 53235, 54045, 54945, 57375, 58185, 59895.

Answer 2

Чтобы число было кратно 45, оно должно быть кратно и 9, и 5.

Для того чтобы число было кратно 9, сумма его цифр должна быть кратна 9. А + Б + В + Б + А = 2*(А + Б + В), следовательно, сумма цифр числа равна 2*(А + Б + В) и должна быть кратна 9.

Также, для того чтобы число было кратно 5, последняя цифра должна быть 0 или 5.

Таким образом, мы можем перебрать все возможные варианты значений цифр А, Б и В, учитывая ограничение, что все цифры должны быть разные, и найти все подходящие числа.

Например, возможными комбинациями цифр будут: - А=1, Б=2, В=3 (число 12321) - А=1, Б=3, В=5 (число 13531) - и так далее.

После того, как найдены все возможные числа, нужно проверить их на кратность 45. Для этого можно просто делить каждое найденное число на 45 и проверять, делится ли оно нацело.

Таким образом, найдем все пятизначные числа, удовлетворяющие условию и кратные 45.