Question

Упрости выражение: ctg1° ∙ ctg2° ∙ ctg3° ∙ … ∙ ctg87° ∙ ctg88° ∙ ctg89°.

Answer 1

Будем использовать формулу приведения:

$\mathrm{ctg}(90^\circ-\alpha )=\mathrm{tg}\alpha$

Также понадобится следующее соотношение для тангенса и котангенса:

$\mathrm{tg}\alpha\cdot\mathrm{ctg}\alpha =1,\ \alpha \neq 90^\circ n,\ n\in\mathbb{Z}$

Рассмотрим произведение:

$\mathrm{ctg}1^\circ\cdot\mathrm{ctg}2^\circ\cdot\mathrm{ctg}3^\circ\cdot \ldots\cdot \mathrm{ctg}87^\circ\cdot\mathrm{ctg}88^\circ\cdot\mathrm{ctg}89^\circ$

Преобразуем последние множители начиная с $\mathrm{ctg}89^\circ$ и заканчивая $\mathrm{ctg}46^\circ$ следующим образом:

$\mathrm{ctg}89^\circ=\mathrm{ctg}(90^\circ-1^\circ)=\mathrm{tg}1^\circ$

$\mathrm{ctg}88^\circ=\mathrm{ctg}(90^\circ-2^\circ)=\mathrm{tg}2^\circ$

...

$\mathrm{ctg}46^\circ=\mathrm{ctg}(90^\circ-44^\circ)=\mathrm{tg}44^\circ$

Тогда произведение перепишется в виде:

$\mathrm{ctg}1^\circ\cdot\mathrm{ctg}2^\circ\cdot\ldots\cdot\mathrm{ctg}44^\circ\cdot \mathrm{ctg}45^\circ\cdot\mathrm{tg}44^\circ\cdot\ldots\cdot\mathrm{tg}2^\circ\cdot\mathrm{tg}1^\circ$

Заметим, что в произведении присутствуют пары множителей $\mathrm{tg}k^\circ\cdot\mathrm{ctg}k^\circ$ для всех натуральных чисел k от 1 до 44 включительно:

$\underline{\mathrm{ctg}1^\circ}\cdot\underline{\underline{\mathrm{ctg}2^\circ}}\cdot\ldots\cdot\underline{\underline{\underline{\mathrm{ctg}44^\circ}}}\cdot \mathrm{ctg}45^\circ\cdot\underline{\underline{\underline{\mathrm{tg}44^\circ}}}\cdot\ldots\cdot\underline{\underline{\mathrm{tg}2^\circ}}\cdot\underline{\mathrm{tg}1^\circ}$

Такие пары множителей дают в произведении 1.

Единственный нерассмотренный множитель - это множитель $\mathrm{ctg}45^\circ$, который также равен 1.

Итак, рассматриваемое произведение сводится к произведению единиц:

$1\cdot1\cdot\ldots\cdot1=1$

Ответ: 1

Answer 2

Для упрощения данного выражения можно воспользоваться тригонометрическими тождествами и свойствами котангенса.

Заметим, что котангенс угла θ равен обратному тангенсу от угла θ:

ctg θ = 1 / tan θ.

Таким образом, выражение можно переписать следующим образом:

ctg 1° ∙ ctg 2° ∙ ctg 3° ∙ … ∙ ctg 87° ∙ ctg 88° ∙ ctg 89°

= (1 / tan 1°) ∙ (1 / tan 2°) ∙ (1 / tan 3°) ∙ … ∙ (1 / tan 87°) ∙ (1 / tan 88°) ∙ (1 / tan 89°).

Далее, воспользуемся свойством тангенса периодичности:

tan (θ + 180°) = tan θ.

Это свойство означает, что тангенс угла θ равен тангенсу угла (θ + 180°). Так как котангенс является обратным к тангенсу, то котангенс угла θ равен котангенсу угла (θ + 180°).

Используя это свойство, можно заметить следующую закономерность:

ctg θ ∙ ctg (θ + 180°) = 1,

где θ может быть любым углом.

Таким образом, в данном выражении каждый котангенс будет умножен на свой "соседний" котангенс, образуя пары, которые равны 1.

Поскольку в данном выражении у нас 89 котангенсов, они разбиваются на 44 пары и остается один "лишний" котангенс (ctg 89°), который не имеет пары. Так как ctg 89° не может быть упрощен с другими котангенсами, выражение нельзя упростить дальше.

Таким образом, окончательный упрощенный вид выражения будет:

1. ctg 89° ∙ (1) = ctg 89°.