Question

Найти промежутки монотонности и точки экстремума функции y=x^3 - 3x^2 - 9x+9

Answer 1

Ответ:

на фото

Объяснение:

Answer 2

Для нахождения промежутков монотонности и точек экстремума функции y=x^3 - 3x^2 - 9x + 9, мы должны проанализировать её производную. Производная позволяет нам определить, где функция возрастает или убывает, а также найти точки, в которых происходят изменения монотонности или экстремумы.

Нахождение производной

Для начала, мы найдем производную функции y=x^3 - 3x^2 - 9x + 9. Для этого возьмем первую производную от каждого слагаемого по отдельности, используя правила дифференцирования:

dy/dx = d/dx(x^3) - d/dx(3x^2) - d/dx(9x) + d/dx(9)

Вычислим каждую производную:

dy/dx = 3x^2 - 6x - 9

Анализ производной

Теперь, чтобы найти промежутки монотонности и точки экстремума, мы должны проанализировать производную функции.

1. Найдем точки, в которых производная равна нулю:

3x^2 - 6x - 9 = 0

Мы можем решить это квадратное уравнение, используя, например, квадратное уравнение. После решения, мы получаем два значения x:

x = -1 и x = 3

2. Определим знак производной в интервалах между найденными значениями x и за их пределами:

- Если производная положительна в интервале, то функция возрастает. - Если производная отрицательна в интервале, то функция убывает.

Подставим значения x в производную и определим знак:

- При x < -1: dy/dx = 3x^2 - 6x - 9 Подставим x = -2: dy/dx = 3(-2)^2 - 6(-2) - 9 = 3(4) + 12 - 9 = 12 + 12 - 9 = 15 > 0 Значит, функция возрастает на интервале (-∞, -1).

- При -1 < x < 3: dy/dx = 3x^2 - 6x - 9 Подставим x = 0: dy/dx = 3(0)^2 - 6(0) - 9 = -9 < 0 Значит, функция убывает на интервале (-1, 3).

- При x > 3: dy/dx = 3x^2 - 6x - 9 Подставим x = 4: dy/dx = 3(4)^2 - 6(4) - 9 = 3(16) - 24 - 9 = 48 - 24 - 9 = 15 > 0 Значит, функция возрастает на интервале (3, +∞).

Промежутки монотонности и точки экстремума

Исходя из анализа производной, мы можем выделить следующие промежутки монотонности и точки экстремума для функции y=x^3 - 3x^2 - 9x + 9:

- Функция возрастает на интервале (-∞, -1). - Функция убывает на интервале (-1, 3). - Функция возрастает на интервале (3, +∞).

Точки экстремума функции соответствуют значениям x, при которых производная равна нулю. В данном случае, у нас есть две точки экстремума:

- При x = -1, функция имеет локальный максимум. - При x = 3, функция имеет локальный минимум.

Надеюсь, что эта информация помогла вам понять промежутки монотонности и точки экстремума для функции y=x^3 - 3x^2 - 9x + 9. Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, дайте мне знать!