Question

Знайдіть первісну функції f(x)=x^4-3x^2+1/x^2, графік якої проходить через точку а (1;5)

Answer 1

Ответ:

Первообразная функции f(x)=x⁴-3x²+1/x², график которой проходит через точку А(1; 5), равна

$\displaystyle F(x)=\frac{1}{5}x^5-x^3-\frac{1}{x}+6\frac{4}{5}$

Объяснение:

Найдите первообразную функции f(x)=x⁴-3x²+1/x², график которой проходит через точку А(1; 5).

Дана функция:

$\displaystyle f(x)=x^4-3x^2+\frac{1}{x^2}$     или     $\displaystyle f(x)=x^4-3x^2+x^{-2}}$

Воспользуемся формулой нахождения первообразной степенной функции:

$\displaystyle \boxed {f(x)=x^n,n\neq -1\;\;\;\Rightarrow \;\;\;F(x)=\frac{x^{n+1}}{n+1} +C}$

Найдем первообразную:

$\displaystyle F(x)=\frac{x^{4+1}}{4+1}-3\cdot\frac{x^{2+1}}{2+1}+\frac{x^{-2+1}}{-2+1}=\\ \\ =\frac{1}{5}x^5-x^3-\frac{1}{x}+C$

Найдем С, подставив координаты точки А(1; 5) в первообразную:

$\displaystyle 5 = \frac{1}{5}\cdot1-1-\frac{1}{1}+C\\ \\ C=5+1\frac{4}{5}\\ \\C=6\frac{4}{5}$

Следовательно, искомая первообразная равна:

$\displaystyle F(x)=\frac{1}{5}x^5-x^3-\frac{1}{x}+6\frac{4}{5}$

#SPJ1

Answer 2

Щоб знайти первісну функцію $f(x)$, ми виконаємо інтегрування кожного члена окремо.

$$\int x^4 \, dx = \frac{1}{5}x^5 + C_1$$

$$\int -3x^2 \, dx = -x^3 + C_2$$

$$\int \frac{1}{x^2} \, dx = -\frac{1}{x} + C_3$$

Отже, первісна функція $f(x)$ буде:

$$F(x) = \frac{1}{5}x^5 - x^3 - \frac{1}{x} + C$$

Для знаходження значення $C$ використаємо умову, що графік функції проходить через точку $(1, 5)$. Підставимо $x = 1$ і $F(x) = 5$ виходячи з цієї умови:

$$5 = \frac{1}{5}(1)^5 - (1)^3 - \frac{1}{1} + C$$

$$5 = \frac{1}{5} - 1 - 1 + C$$

$$5 = \frac{1}{5} - \frac{5}{5} + C$$

$$5 = -\frac{4}{5} + C$$

$$C = 5 + \frac{4}{5} = \frac{25}{5} + \frac{4}{5} = \frac{29}{5}$$

Таким чином, первісна функція $f(x)$, яка проходить через точку $(1, 5)$, має вигляд:

$$F(x) = \frac{1}{5}x^5 - x^3 - \frac{1}{x} + \frac{29}{5}$$