Question

У квадратного трехчлена x2 + bx + c корни — целые числа, причем хотя бы один из них чётен, а коэффициент c — простое число. Найдите сумму всех коэффициентов трехчлена, если известно, что она положительна.

Answer 1

Ответ:  Сумма коэффициентов данного трехчлена равна  6-ти

Объяснение:

Рассмотрим самый ключевой момент :

коэффициент c — простое число.

Это означает , что одним из корней  уравнения является либо  1 , либо -1

Теперь  учтем , что  хотя бы один корень  чётен, соответственно

второй корень  либо   2  ,  либо  - 2

Т.к  c  = x₁ · x₂ =  ±2 - единственное  простое число , при хотя бы одном  четном корне

Рассмотрим случай   x₁ = -2  ,  x₂ = 1  

(x - x₁ )(x - x₂) = (x +2)(x -1) = x² + x - 2

Сумма коэффициентов данного трехчлена  равно  0

1 + 1 - 2 =0

А как нам известно , ноль не является ни отрицательным , ни положительным число , соответственно данный случай отметаем

При   x₁ = 2  ,   x₂ = 1  сумма коэффициентов будет отрицательной

(x - x₁ )(x - x₂) = (x -2)(x -1) = x² -3x - 2

1 - 3 - 2 = -4

И  наконец , мы берем только отрицательные корни x₁ = - 2 , x₂ =-1  , т.к сумма коэффициентов должна быть положительной

(x - x₁ )(x - x₂)   = (x +1)(x+2)  = x² + 3x  + 2

Сумма коэффициентов :

a + b + c = 1 + 3 + 2 = 6

#SPJ1

Answer 2

Для начала, давайте найдем все возможные комбинации целых корней, удовлетворяющих заданным условиям.

У нас есть трехчлен x^2 + bx + c, где b и c — целые числа, а c — простое число. Поскольку корни являются целыми числами, то мы можем записать трехчлен в следующем виде:

(x - p)(x - q),

где p и q — корни трехчлена.

По условию, хотя бы один из корней должен быть четным. Это означает, что p и q могут быть как оба четными, так и один из них — четным, а другой — нечетным.

С учетом того, что c — простое число, есть всего несколько возможных значений для него: c может быть равным 2, 3, 5, 7, и т.д. В нашем случае, мы знаем только, что c — простое число, но не знаем его конкретное значение.

Рассмотрим все возможные комбинации значений p и q для различных случаев.

1. Оба корня p и q являются четными числами.

Если оба корня четные, то p и q могут быть равными 2, 4, 6, и так далее. В таком случае, сумма корней будет равна p + q = 2 + 2k, где k — некоторое целое число. Обозначим эту сумму как S1.

2. Один корень четный, а другой — нечетный.

Пусть один из корней, скажем p, является четным числом, а второй корень q — нечетным числом. В таком случае, сумма корней будет равна p + q = 2k + 1, где k — некоторое целое число. Обозначим эту сумму как S2.

Теперь мы можем выразить коэффициенты трехчлена x^2 + bx + c через сумму корней:

b = -(p + q) c = pq

Известно, что сумма всех коэффициентов трехчлена (b + c + 1) положительна. Поэтому мы можем записать следующее неравенство:

(b + c + 1) > 0 (-(p + q) + pq + 1) > 0 pq - p - q + 1 > 0 pq - p - q > -1 (p - 1)(q - 1) > -1

Теперь рассмотрим каждый из случаев:

1. Оба корня p и q являются четными числами.

В этом случае,