Question

Відомо, що x+1/x=9.Знайдіть значення виразу x²+1/x²​

Answer 1

$\displaystyle\bf\\x+\frac{1}{x} =9\\\\\\\Big(x+\frac{1}{x} \Big)^{2} =9^{2} \\\\\\x^{2} +2\cdot \underbrace{x\cdot \frac{1}{x} }_{1}+\Big(\frac{1}{x} \Big)^{2} =81\\\\\\x^{2} +2+\frac{1}{x^{2} } =81\\\\\\x^{2} +\frac{1}{x^{2} } =81-2\\\\\\x^{2} +\frac{1}{x^{2} } =79\\\\\\Otvet \ : \ x^{2} +\frac{1}{x^{2} } =79$

Answer 2

Щоб знайти значення виразу x² + 1/x², спочатку розглянемо дане рівняння:

x + 1/x = 9

Можна помножити обидві частини рівняння на x, отримаємо:

x² + 1 = 9x

Тепер віднімемо 9x з обох боків рівняння:

x² - 9x + 1 = 0

Застосуємо формулу коренів квадратного рівняння:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

У нашому випадку: a = 1, b = -9, c = 1

x = (-(-9) ± √((-9)² - 4(1)(1))) / (2(1)) = (9 ± √(81 - 4)) / 2 = (9 ± √77) / 2

Тому ми отримуємо два можливих значення для x:

x₁ = (9 + √77) / 2 x₂ = (9 - √77) / 2

Тепер, щоб знайти значення виразу x² + 1/x², підставимо ці значення x у вираз:

Для x₁: (x₁)² + 1/(x₁)² = ((9 + √77) / 2)² + 1/((9 + √77) / 2)² = (81 + 18√77 + 77) / 4 + 4 / (81 + 18√77 + 77) / 4 = (158 + 18√77) / 4 + 4 / (158 + 18√77) / 4 = (158 + 18√77 + 16) / (4 * (158 + 18√77)) = (174 + 18√77) / (4 * (158 + 18√77)) = (87 + 9√77) / (79 + 9√77)

Для x₂: (x₂)² + 1/(x₂)² = ((9 - √77) / 2)² + 1/((9 - √77) / 2)² = (81 - 18√77 + 77) / 4 + 4 / (81 - 18√77 + 77) / 4 = (158 - 18√77) / 4 + 4 / (158 - 18√77) / 4 = (158 - 18√77 + 16) / (4 * (158 - 18√77)) = (174 - 18√77) / (4 * (158 - 18√77)) = (87 - 9√77) / (79 - 9√77)

Отже, значення виразу x² + 1/x² є: для x₁: (87 + 9√77) / (79 + 9