Question

Cos 9x -cos 7x+cos 3x-cos x=0 Допоможіть!

Answer 1

...........................

Answer 2

Щоб розв'язати дане рівняння, використаємо тригонометричну ідентичність:

cos(a) - cos(b) = -2sin((a+b)/2)sin((a-b)/2)

Застосуємо цю ідентичність для рівняння:

cos(9x) - cos(7x) + cos(3x) - cos(x) = 0

-2sin((9x+7x)/2)sin((9x-7x)/2) + 2sin((3x+x)/2)sin((3x-x)/2) = 0

-2sin(8x)sin(x) + 2sin(2x)sin(x) = 0

Тепер спростимо рівняння:

-2sin(x)(sin(8x) - sin(2x)) = 0

Це рівняння буде справедливим, коли один з двох множників буде дорівнювати нулю:

1. sin(x) = 0

   Звідси випливає, що x = 0 або x = kπ, де k - ціле число.

2. sin(8x) - sin(2x) = 0

   Застосуємо тригонометричну ідентичність: sin(a) - sin(b) = 2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2)

   2cos((8x+2x)/2)sin((8x-2x)/2) = 0

   2cos(5x)sin(3x) = 0

   Це рівняння буде справедливим, коли один з двох множників буде дорівнювати нулю:

   a) cos(5x) = 0

   Звідси отримуємо 5x = π/2 + kπ/2, де k - ціле число.

   Ділимо обидві частини на 5: x = (π/2 + kπ/2)/5, де k - ціле число.

   b) sin(3x) = 0

   Звідси отримуємо 3x = kπ, де k - ціле число.

   Ділимо обидві частини на 3: x = kπ/3, де k - ціле число.

Отже, загальний розв'язок рівняння cos(9x) - cos(7x) + cos(3x) - cos(x) = 0 має вигляд:

x = 0, x = kπ, x = (π/2 + kπ/2)/5, x = kπ/3, де k - ціле число.