Question

Дослідіть за допомогою похідної функцію і побудуйте її графік f(x)=x/2-x^4

Answer 1

Ответ:

Почнемо з обчислення похідної функції `f'(x)`:

f'(x) = (1/2 - 4x^3)

Похідна функції дає нам інформацію про зміну функції в кожній точці її області визначення, тому знак першої похідної може розповісти нам про інтервали зростання та спадання функції. Розв'яжемо нерівність `f'(x) > 0`:

1/2 - 4x^3 > 0

4x^3 < 1/2

x^3 < 1/8

x < 1/2

Отже, функція зростає на інтервалі (-∞, 1/2) і спадає на інтервалі (1/2, +∞).

Точки екстремуму можуть бути знайдені за допомогою другої похідної. f"(x) = -12x^2, і ця функція від'ємна на всій області визначення, тому ми маємо максимум у точці x = 0.

Тепер побудуймо графік нашої функції:


Отже, ми бачимо, що функція зростає з `-∞` до `x = 1/2`, досягає максимуму в `x = 0`, і спадає на `x > 1/2`.

Answer 2

Щоб дослідити функцію за допомогою похідної, спочатку обчислимо похідну функції f(x). Потім побудуємо графік похідної, щоб аналізувати поведінку функції.

Похідна функції f(x) обчислюється за допомогою правила диференціювання суми та різниці:

f'(x) = (1/2 - 4x^3)

Тепер побудуємо графік функції f(x) та її похідної f'(x) для аналізу:

pythonCopy code
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Функція f(x)
def f(x):
    return x/2 - x**4

# Похідна функції f(x)
def df(x):
    return 1/2 - 4*x**3

# Задаємо діапазон значень x
x = np.linspace(-2, 2, 400)

# Обчислюємо значення функції f(x) та її похідної f'(x)
y = f(x)
dy = df(x)

# Побудова графіків
plt.figure(figsize=(10, 5))
plt.subplot(1, 2, 1)
plt.plot(x, y, label='f(x) = x/2 - x^4')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x)')
plt.title('Графік функції f(x)')
plt.legend()

plt.subplot(1, 2, 2)
plt.plot(x, dy, label="f'(x) = 1/2 - 4x^3")
plt.xlabel('x')
plt.ylabel("f'(x)")
plt.title('Графік похідної f(x)')
plt.legend()

plt.tight_layout()
plt.show()

Після виконання цього коду буде побудовано графік функції f(x) та її похідної f'(x). За допомогою цих графіків можна аналізувати місця, де функція зростає або спада, а також точки екстремуму.

Зверніть увагу, що графік функції f(x) та графік похідної f'(x) знаходяться на одному графіку.