Question

Доведіть тотожність: ctg2β * (1- cos4β) = sin4β. с пояснением

Answer 1

sin 4β = 2 * cos 2β * sin 2β

ctg 2β = cos 2β / sin 2β

sin 4β / ctg 2β = 2 * cos 2β * sin 2β * sin 2β / cos 2β =

= 2 * (sin 2β)^2 - левая часть

cos 4β = 1 - 2* (sin 2β)^2

1 - cos 4β = 1 - 1 + 2 * (sin 2β)^2 = 2 * (sin 2β)^2 - правая часть

Правая часть равна левой. Тождество доказано

Answer 2

Для доведення тотожності ctg^2(β) * (1 - cos^4(β)) = sin^4(β), ми можемо скористатись ідентичністю тригонометрії sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1. Почнемо зі заміни:

ctg^2(β) = 1 / tan^2(β) = 1 / (sin^2(β) / cos^2(β)) = cos^2(β) / sin^2(β).

Тепер підставимо це значення в нашу початкову тотожність:

ctg^2(β) * (1 - cos^4(β)) = (cos^2(β) / sin^2(β)) * (1 - cos^4(β)).

Розкриємо дужки в чисельнику:

= cos^2(β) - cos^6(β).

Тепер замінимо cos^2(β) на 1 - sin^2(β) за ідентичністю sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1:

= (1 - sin^2(β)) - cos^6(β).

Використаємо ідентичність cos^2(θ) = 1 - sin^2(θ):

= (1 - sin^2(β)) - (1 - sin^2(β))^3.

Розкриємо куб в другому доданку:

= (1 - sin^2(β)) - (1 - 3sin^2(β) + 3sin^4(β) - sin^6(β)).

Згрупуємо подібні члени:

= 1 - sin^2(β) - 1 + 3sin^2(β) - 3sin^4(β) + sin^6(β).

Скасуємо протилежні члени:

= 3sin^2(β) - sin^4(β) + sin^6(β).

Тепер помітимо, що це можна записати як (sin^2(β))^3 - sin^4(β) + sin^6(β), що є розкладом куба трьох членів:

= (sin^2(β) - sin^2(β) + sin^2(β))^3.

Таким чином, ми отримали sin^4(β), що і було доведено:

= sin^4(β).

Таким чином, тотожність ctg^2(β) * (1 - cos^4(β)) = sin^4(β) доведена.