Question

3^x+2-2*3^x+1+3^x<12 Решить через t, подробно

Answer 1

Відповідь:       xЄ (- ∞ ; 1 ) .

Пояснення:

  У цьому прикладі заміна недоцільна ( хоча можлива ) .

 3ˣ⁺²-2*3ˣ⁺¹+3ˣ < 12 ;

 3ˣ * 3² - 2 * 3¹ *3ˣ + 3ˣ < 12 ;

 9 * 3ˣ - 6 * 3ˣ + 3ˣ < 12 ;

 4 * 3ˣ < 12 ;

       3ˣ < 12 : 4 ;

       3ˣ < 3 ;   ( a = 3 > 1 ) ;

         x < 1 ;  ----->   xЄ (- ∞ ; 1 ) .  

Answer 2

Давайте решим данное неравенство пошагово, используя замену переменной. Пусть t = 3^x, тогда наше неравенство примет вид:

t^2 - 2t^1 + t < 12.

Теперь перепишем его в квадратном виде:

t^2 - t^1 - 12 < 0.

Теперь решим это квадратное неравенство. Прежде всего, найдем его корни:

t^2 - t - 12 = 0.

Мы можем решить это уравнение, используя факторизацию или квадратное уравнение:

(t - 4)(t + 3) = 0.

Таким образом, у нас есть два корня: t = 4 и t = -3.

Теперь построим таблицу знаков, чтобы определить интервалы, на которых неравенство выполняется:

t | t^2 - t - 12

t < -3 | (-)
-3 < t < 4 | (+)
t > 4 | (-)

Таким образом, неравенство t^2 - t - 12 < 0 выполняется на интервале -3 < t < 4.

Теперь заменим переменную t обратно на исходную переменную x:

3^x < 4.

Чтобы избавиться от неравенства со степенью, возьмем логарифм от обеих частей неравенства по основанию 3:

log₃(3^x) < log₃(4).

По свойствам логарифмов, логарифм степени равен произведению степени и логарифма числа:

x < log₃(4).

Теперь, используя базовое свойство логарифмов, мы можем вычислить правую часть:

x < log₃(2²).

x < 2log₃(2).

Таким образом, решением исходного неравенства 3^x+2 - 2*3^x+1 + 3^x < 12 является любое число x, удовлетворяющее неравенству x < 2log₃(2).