Question

Найдите количество натуральных делителей числа 21^22 С объяснением если можно

Answer 1

Ответ:

Чтобы найти количество натуральных делителей числа 21^22, мы можем воспользоваться следующим фактом: любой натуральный делитель числа 21^22 может быть записан в виде 21^a * b, где a - натуральное число, а b - делитель числа 21^22, не делящийся на 21.

Таким образом, чтобы найти количество делителей числа 21^22, мы можем сначала найти количество способов выбрать значение показателя степени a. Поскольку a может принимать значения от 0 до 22 включительно, количество возможных значений для a равно 23.

Затем мы можем найти количество способов выбрать делитель b, который не делится на 21. Число 21^22 имеет два простых множителя: 3 и 7. Любой делитель числа 21^22 должен быть произведением некоторых степеней 3 и 7. Однако мы не можем выбирать степень 7, потому что это приведет к тому, что делитель будет делиться на 21. Таким образом, каждый делитель числа 21^22 должен быть вида 3^k, где k - натуральное число.

Число 21^22 содержит (22 + 1) = 23 простых множителя 3. Каждый из этих множителей может принимать любое из (1 + 1) = 2 значений (т.е. быть включен или не быть включен в произведение). Таким образом, количество возможных делителей b равно 2^23.

Итак, общее количество натуральных делителей числа 21^22 равно произведению количества возможных значений для a и количества возможных делителей b:

23 * 2^23 = 24,576,000

Answer 2

Чтобы найти количество натуральных делителей числа, мы можем воспользоваться разложением числа на простые множители. Число 21^22 можно представить как (3^2 * 7^1)^22.

Общая формула для определения количества делителей числа, представленного в виде произведения простых множителей вида p^a * q^b * r^c * ..., где p, q, r и т.д. - различные простые числа, а a, b, c и т.д. - положительные целые числа, заключается в умножении на (a + 1) * (b + 1) * (c + 1) * ..., где a, b, c и т.д. - степени простых чисел в разложении.

В случае числа (3^2 * 7^1)^22 количество делителей будет равно (2 + 1) * (1 + 1) * 22 = 3 * 2 * 22 = 132.

Таким образом, количество натуральных делителей числа 21^22 равно 132.