Question

Розвяжіть рівняння 1+7+13+...+х=280

Answer 1

Формула n-ого члена арифметической прогрессии:

$a_n=a_1+d(n-1)$

Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии:

$S_n=\dfrac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n$

Рассмотрим уравнение:

$1+7+13+\ldots+x=280$

В левой части уравнения записана сумма первых n членов арифметической прогрессии с первым членом, равным 1, и разностью, равной 7-1=6:

$a_1=1;\ d=6$

Найти необходимо n-ый член этой прогрессии:

$x=a_n=a_1+d(n-1)$

Чтобы найти n-ый член, нужно знать его номер. Номер сможем найти, используя значение суммы:

$S_n=\dfrac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n=280$

$\dfrac{2\cdot1+6(n-1)}{2}\cdot n=280$

$(1+3(n-1))\cdot n=280$

$(1+3n-3)\cdot n=280$

$(3n-2)\cdot n=280$

$3n^2-2n-280=0$

$D=(-1)^2-3\cdot(-280)=841$

$n=\dfrac{1+\sqrt{841} }{3} =10$

$n\neq \dfrac{1-\sqrt{841} }{3} =-\dfrac{28}{3} \notin\mathbb{N}$

Второй корень уравнения не имеет смысла, так как номер n - натуральное число.

Таким образом, $n=10$:

$x=a_{10}=a_1+9d=1+9\cdot6=55$

Ответ: 55

Answer 2

Для розв'язання даного рівняння потрібно знайти значення х, яке задовольняє рівняння 1 + 7 + 13 + ... + х = 280.

Це є арифметична прогресія, де різниця між послідовними членами дорівнює 6 (7 - 1 = 6, 13 - 7 = 6 і так далі). Ми можемо знайти загальний член такої прогресії за формулою:

ан = а₁ + (n - 1) * d,

де а₁ - перший член прогресії, d - різниця між членами прогресії, n - номер члена прогресії.

В нашому випадку а₁ = 1, d = 6. Замість х підставимо n і отримаємо:

1 + (n - 1) * 6 = 280.

Розкриємо дужки:

1 + 6n - 6 = 280.

Спростимо:

6n - 5 = 280.

Приберемо 5 з лівого боку:

6n = 285.

Поділимо обидві сторони на 6:

n = 285 / 6.

n ≈ 47,5.

Отримали, що номер члена прогресії n дорівнює приблизно 47,5. Оскільки номери членів прогресії повинні бути цілими числами, ми можемо вважати, що n = 48. Тепер підставимо n = 48 в формулу для загального члена прогресії:

х = 1 + (48 - 1) * 6,

х = 1 + 47 * 6,

х = 1 + 282,

х = 283.

Отже, рівняння 1 + 7 + 13 + ... + х = 280 має розв'язок х = 283.