Question

Знайдіть перший член і знаменник геометричної прогресії ( bn), якщо b10 = 9b8 i b3+ b6 = 168.

Answer 1

Ми можемо використати формулу для знаходження n-го члену геометричної прогресії, щоб знайти перший член (b1) і знаменник (q):

b10 = b1 * q^9 (формула для n-го члену геометричної прогресії)

9b8 = b1 * q^7 (даний умовою)

Можна помітити, що в обох рівняннях є добуток b1 і q, тому ми можемо ділити одне рівняння на інше, щоб отримати вираз для q:

b10 / 9b8 = q^2

q = √(b10 / 9b8)

Тепер, ми можемо використати даний умовою рівняння для b3 і b6, щоб знайти b1:

b3 + b6 = b1 * q^2 + b1 * q^5 = b1 * q^2 * (1 + q^3) = 168

Ми вже знаємо значення q, тому ми можемо виразити b1:

b1 = 168 / (q^2 * (1 + q^3))

Підставивши значення q, ми отримуємо:

q = √(b10 / 9b8) = √(b1 * q^9 / 9b1 * q^7) = √(b1 / 9)

q^2 = b1 / 81

b3 + b6 = b1 * q^2 * (1 + q^3) = b1 * (b1/81) * (1 + (b1/81)^1.5) = 168

Після підстановки і простих алгебраїчних дій, ми отримуємо:

b1 = 3

q = √(b1 / 81) = 1/9

Отже, перший член геометричної прогресії b1 = 3, а знаменник q = 1/9.

Answer 2

Щоб знайти перший член (b1) і знаменник (n) геометричної прогресії, ми можемо скористатися наданою інформацією.

Передбачимо, що b1 = b і n = r (знаменник).

За умовою маємо, що b10 = 9b8. Застосуємо формулу загального члена геометричної прогресії:

b10 = b1 * r^9 b8 = b1 * r^7

Підставляючи ці значення в рівняння, отримуємо:

b1 * r^9 = 9 * (b1 * r^7)

Згортаємо подібні терміни:

r^2 = 9

Отримуємо рівняння: r^2 - 9 = 0.

Це квадратне рівняння має два корені: r = 3 і r = -3.

Тепер розглянемо другу рівність: b3 + b6 = 168. Знову використаємо формулу загального члена геометричної прогресії:

b3 = b1 * r^2 b6 = b1 * r^5

Підставляючи ці значення в рівняння, отримуємо:

b1 * r^2 + b1 * r^5 = 168

Згортаємо подібні терміни:

b1 * (r^2 + r^5) = 168

Підставляємо значення r = 3 і r = -3:

Для r = 3: b1 * (3^2 + 3^5) = 168 b1 * (9 + 243) = 168 b1 * 252 = 168 b1 = 168 / 252 b1 = 2/3

Для r = -3: b1 * (3^2 + (-3)^5) = 168 b1 * (9 + (-243)) = 168 b1 * (-234) = 168 b1 = 168 / (-234) b1 = -4/3

Таким чином, перший член геометричної прогресії може бути або 2/3, або -4/3, а знаменник рівний 3.