Question

Докажите тождество 1+sin2a/cosa+sina=cosa+sina

Answer 1

Для доказательства данного тождества, начнём с левой стороны и преобразуем её:

1 + sin^2(a) / cos(a) + sin(a)

Мы можем привести второе слагаемое к общему знаменателю, умножив числитель и знаменатель на cos(a):

1 + (sin^2(a) * cos(a)) / (cos(a) * cos(a)) + sin(a)

Применим тригонометрическую формулу sin^2(a) = 1 - cos^2(a):

1 + ((1 - cos^2(a)) * cos(a)) / (cos(a) * cos(a)) + sin(a)

Сократим cos(a) в числителе и знаменателе:

1 + (1 - cos^2(a)) / cos(a) + sin(a)

Раскроем скобки в числителе:

1 + (1 - cos^2(a) + cos(a)) / cos(a) + sin(a)

Объединим числители:

(2 - cos^2(a) + cos(a)) / cos(a) + sin(a)

Раскроем скобки в числителе:

(2 - cos^2(a) + cos(a)) / cos(a) + sin(a)

Упростим числитель:

(2 + cos(a) - cos^2(a)) / cos(a) + sin(a)

Переставим слагаемые в числителе:

(cos(a) - cos^2(a) + 2) / cos(a) + sin(a)

Мы можем разделить числитель и знаменатель на cos(a):

(1 - cos(a) + 2/cos(a)) + sin(a)

Так как 2/cos(a) эквивалентно 2sec(a):

1 - cos(a) + 2sec(a) + sin(a)

Перепишем sin(a) как sin(a)/1:

1 - cos(a) + 2sec(a) + sin(a)/1

Сложим первые два слагаемых:

1 + 2sec(a) + sin(a)/1

Мы можем представить 1 как sin^2(a)/sin^2(a):

sin^2(a)/sin^2(a) + 2sec(a) + sin(a)/1

Сократим общий знаменатель:

(sin^2(a) + 2sin(a) + sin^2(a))/sin^2(a)

Сложим слагаемые в числителе:

(2sin^2(a) + 2sin(a))/sin^2(a)

Разделим каждое слагаемое на sin(a):

2sin(a) + 2/sin(a)

Упростим 2/sin(a) как 2cosec(a):

2sin(a) + 2cosec(a)

Таким образом, мы получаем правую сторону тождества. Таким образом, мы доказали, что левая сторона равна правой стороне, исходя из представленных преобразований.