Question

6. Катер проплив 45 км за течією річки і 7 км проти течії, витративши на весь шлях 3 год. Знайдіть власну швидкість катера, якщо швидкість течії річки 2 км/год.​

Answer 1

Відповідь:

Власна швидкість катера 16 км/год.

Пояснення:

Позначимо власну швидкість катера через Х км/год. Таким чином швидкість катера за течією річки дорівнює (Х + 2) км/год, а швидкість катера проти течії річки дорівнює (Х - 2) км/год.

Катер за течією річки 45 км проходить

за 45 / ( Х + 2 ) годин, а проти течії річки 7 км проходить 7 / ( Х - 2 ) годин. Весь цей час складає 3 години. Отримуємо рівняння:

45 / ( Х + 2 ) + 7 / ( Х - 2 ) = 3

45 × ( Х - 2 ) + 7 × ( Х + 2 ) = 3 × ( Х + 2 ) × ( Х - 2 )

45Х - 90 + 7Х + 14 = 3Х² + 6Х - 6Х - 12

3Х² - 52Х + 64 = 0

Вирішимо квадратне рівняння, знайдемо дискрімінант:

D = ( -52 )² - 4 × 3 × 64 = 2704 - 768 = 1934

Знайдемо корні квадратного рівняння:

Х1 = ( 52 + √1934 ) / ( 2 × 3 ) = ( 52 + 44 ) / 6 = 16 км/год – власна швидкість катера.

Х1 = ( 52 - √1934 ) / ( 2 × 3 ) = ( 52 - 44 ) / 6 = 1 1/3 км/год.

Другий корінь ми відкидаємо, бо власна швидкість катера не може бути меньшою за швидкість течії річки, та катер не зможе їти проти течії річки.

Перевірка:

Швидкість катера за течією річки дорівнює 16 + 2 = 18 км/год, а швидкість катера проти течії річки дорівнює 16 - 2 = 14 км/год.

Катер за течією річки 45 км проходить

за 45 / 18 = 2,5 години, а проти течії річки 7 км проходить 7 / 14 = 0,5 години. Весь цей час складає 2,5 + 0,5 = 3 години.

Все вірно.

Answer 2

Позначимо швидкість катера як V, а швидкість течії річки як C.

При пливі за течією катер отримує додаткову швидкість, рівну швидкості течії: V + C. При пливі проти течії катер зменшує свою швидкість на швидкість течії: V - C.

За умовою задачі, катер пропливав 45 км за течією і 7 км проти течії, витративши на весь шлях 3 години.

Використаємо формулу шлях = швидкість × час: 45 = (V + C) × t1 (1) 7 = (V - C) × t2 (2) 3 = t1 + t2 (3)

Розділимо рівняння (1) на (2): 45/7 = (V + C)/(V - C) × t1/t2

З рівняння (3) можна виразити t2: t2 = 3 - t1

Підставимо вираз для t2 у попереднє рівняння: 45/7 = (V + C)/(V - C) × t1/(3 - t1)

Перепишемо це рівняння: 45(3 - t1) = 7(V + C)t1

Розкриємо дужки: 135 - 45t1 = 7Vt1 + 7Ct1

Розподілимо t1 по одній стороні та V і C по іншій: 7Vt1 - 45t1 = 7Ct1 - 135

Факторизуємо t1: t1(7V - 45) = 7Ct1 - 135

Відмінимо t1 з обох сторін: 7V - 45 = 7C - 135

Перенесемо аналогічні члени на одну сторону: 7V - 7C = 45 - 135

Скоротимо обидві сторони рівняння на 7: V - C = 6

Отже, отримали, що V - C = 6.

Тепер складемо два рівняння: V - C = 6 (4) V + C = 45/3 = 15 (5)

Додамо рівняння (4) до рівняння (5): 2V = 21

Розділимо обидві сторони на 2: V = 10.5

Отже, власна швидкість катера становить 10.5