Question

В арифметической прогрессии (а), в которой разность d + 0, сумма членов с седьмого по тринадцатый включительно равна 52,5. Найдите номер члена этой прогрессии, равного 7,5.​

Answer 1

Дано:

$(a_n)$ - арифметическая прогрессия.

$d\neq 0$

$S_{7-13}=52,5$

$a_x=7,5$

Найти:  $x$

Решение.

1)   $13-7+1=7$   - количество членов с седьмого по тринадцатый.

  $n=7$

2)   $S_n=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}*n$  формула суммы $n$ членов арифметической прогрессии

Для суммы членов с седьмого по тринадцатый первым

членом будет $a_7$ .

   $S_{7-13}=\frac{2a_7+(7-1)d}{2}*7$

   $\frac{2a_7+6d}{2}*7=52,5$

  $\frac{2a_7+6d}{2}=52,5:7$

  $\frac{2(a_7+3d)}{2}=7,5$

   $a_7+3d}=7,5$  

3)    По формуле общего члена арифметической прогрессии

    $a_n=a_1+(n-1)d$  выразим $a_7=a_1+6d$ .

Подставим в уравнение  $a_7+3d}=7,5$ и получим:

   $(a_1+6d)+3d=7,5$

  $a_1+9d=7,5$

4)  По условию один из членов данной прогрессии с номером $x$

 равен 7,5.

    $a_x=7,5$     иначе

  $a_1+(x-1)d=7,5$

5)   Очевидно, что два уравнения

    $a_1+9d=7,5$                 и   $a_1+(x-1)d=7,5$

 имеют равные правые части 7,5 = 7,5  , а это значит, что

$a_1+(x-1)d=a_1+9d$

     $x-1=9$

    $x=1+9$

   $x=10$  

10-й член данной прогрессии равен 7,5.

Ответ:   10.

Answer 2

Дано, что в арифметической прогрессии с разностью d + 0 сумма членов седьмого по тринадцатый включительно равна 52,5.

Сумма членов арифметической прогрессии можно найти по формуле: S = (n/2)(2a + (n-1)d),

где S - сумма, n - количество членов, a - первый член прогрессии, d - разность.

В данном случае нам известна сумма S = 52,5 и номера членов прогрессии от 7 до 13.

Подставим известные значения в формулу: 52,5 = (7/2)(2a + (7-1)d).

Упростим выражение: 52,5 = 3,5(2a + 6d).

Раскроем скобки: 52,5 = 7a + 21d.

Также нам дано, что член прогрессии с номером 7 равен 7,5: a + 6d = 7,5.

Теперь у нас есть система уравнений: { 7a + 21d = 52,5, a + 6d = 7,5. }

Решим эту систему уравнений.

Из второго уравнения выразим a: a = 7,5 - 6d.

Подставим это значение в первое уравнение: 7(7,5 - 6d) + 21d = 52,5.

Раскроем скобки и упростим выражение: 52,5 - 42d + 21d = 52,5.

Упростим дальше: -21d = 0.

Таким образом, получаем, что d = 0.

Если разность d = 0, то прогрессия будет являться арифметической прогрессией с равными членами. В такой прогрессии каждый член равен предыдущему. То есть, a = 7,5 (первый член равен 7,5).

Теперь мы можем найти номер члена, который равен 7,5. Поскольку каждый член равен предыдущему, нам нужно найти, сколько раз мы должны прибавить разность d = 0 к первому члену a = 7,5, чтобы получить 7,5.

7,5 + 0 = 7,5.

Таким образом, номер члена прогрессии, равного 7,5, равен 1.