Question

Запишите уравнение параболы, проходящей через точки А(-4;0) и В(2;36), если точка А является вершиной параболы.

Answer 1

Запишем уравнение параболы в виде y=a*x²+b*x+c. Подставляя в это уравнение координаты точек A и B, получаем систему уравнений:

16*a-4*b+c=0

4*a+2*b+c=36

Кроме того, так как абсцисса вершины параболы Xa удовлетворяет уравнению Xa=-b/(2*a), то к этим двум уравнениям добавляется третье: -4=-b/(2*a), или b=8*a. Подставляя это выражение в два первых уравнения, приходим к системе:

-16*a+c=0

20*a+c=36

Решая её, находим a=1 и c=16. Тогда b=8 и уравнение параболы принимает вид: x²+8*x+16=0. Ответ: x²+8*x+16=0.  

Answer 2

Уравнение параболы с вершиной в точке (h, k) может быть записано в виде:

(x - h)^2 = 4p(y - k),

где p - фокусное расстояние (половина расстояния между фокусом и прямой директрисы).

В данном случае, так как точка A (-4, 0) является вершиной параболы, координаты вершины h и k будут (-4, 0).

Мы знаем, что парабола проходит через точку B (2, 36). Подставим координаты этой точки в уравнение параболы:

(2 - (-4))^2 = 4p(36 - 0).

Теперь у нас есть уравнение с одной неизвестной - p. Решим его:

(6)^2 = 4p(36), 36 = 144p, p = 36/144, p = 1/4.

Таким образом, фокусное расстояние p равно 1/4.

Итак, уравнение параболы, проходящей через точки A (-4, 0) и B (2, 36), с вершиной в точке A, будет иметь вид:

(x + 4)^2 = 4(1/4)(y - 0), (x + 4)^2 = y.

Поэтому уравнение параболы будет (x + 4)^2 = y.