Question

Найдите наименьшее значение ввражения x^2y^4+x^2-4xy^4-6x+6y^4

Answer 1

Ответ:

-9

Объяснение:

Перепишем функцию, как

$y^{4}(x^{2}-4x+6)+x^{2}-6x$

$x^{2}-4x+6>0$ , для любых x, т.к. дискриминант квадратичной формы меньше 0

$y^{4} (x^{2}-4x+6)>=0$

Равно 0 только при y=0.

Функция $x^{2} -6x$ достигает минимума при x=3, минимальное значение -9

Значит наименьшее значение функция достигает в точке (3,0) и оно равно  0-9=-9

Answer 2

Чтобы найти наименьшее значение выражения x^2y^4 + x^2 - 4xy^4 - 6x + 6y^4, необходимо найти минимум функции относительно переменных x и y.

Для этого можно использовать метод частных производных. Найдем частные производные по переменным x и y:

∂/∂x (x^2y^4 + x^2 - 4xy^4 - 6x + 6y^4) = 2xy^4 + 2x - 4y^4 - 6 ∂/∂y (x^2y^4 + x^2 - 4xy^4 - 6x + 6y^4) = 4x^2y^3 - 16xy^3 + 24y^3

Затем приравняем обе производные к нулю и решим полученную систему уравнений:

2xy^4 + 2x - 4y^4 - 6 = 0 ... (1) 4x^2y^3 - 16xy^3 + 24y^3 = 0 ... (2)

Из уравнения (2) можно выразить x через y:

4x^2y^3 - 16xy^3 + 24y^3 = 0 4xy^3(x - 4) = -24y^3 x = (6y^3)/(y^3 - 4)

Подставим значение x в уравнение (1):

2xy^4 + 2x - 4y^4 - 6 = 0 2[(6y^3)/(y^3 - 4)]y^4 + 2(6y^3)/(y^3 - 4) - 4y^4 - 6 = 0 12y^7/(y^3 - 4) + 12y^3/(y^3 - 4) - 4y^4 - 6 = 0

Теперь полученное уравнение можно решить численно или графически для нахождения значения y. После нахождения y можно вычислить соответствующее значение x.

Отметим, что я не могу точно найти значения x и y, так как это требует численного решения уравнения. Однако, данная информация должна помочь вам в поиске минимального значения выражения.