Question

Найти область определения функции: 1) f(x)=x^2-5/x^2-6x-16 2) f(x)=√(x-4)+8/x^2-9

Answer 1

1) Знаменатель дроби не может равняться нулю, поэтому решаем следующее уравнение:

x² - 6x - 16 ≠ 0

x² - 6x + 9 - 25 ≠ 0

(x - 3)² - 5² ≠ 0

(x - 3 - 5)(x - 3 + 5) ≠ 0

(x - 8)(x + 2) ≠ 0

x ≠ -2; 8

Ответ: D(f) = (-∞; -2) U (8; +∞).

2) f(x) = √(x - 4) + 8/(x² - 9)

Подкоренное выражение - число неотрицательное, знаменатель не равен нулю, на основе этого решаем систему:

{x - 4 ≥ 0

{x² - 9 ≠ 0

{x ≥ 4

{x ≠ ±3

Решением системы будет являться промежуток [4; +∞)

Ответ: D(f) = [4; +∞).

Answer 2

Для нахождения области определения функций нужно найти значения x, при которых функции определены и не имеют деления на ноль или извлечения квадратного корня из отрицательного числа.

1. f(x) = (x^2 - 5) / (x^2 - 6x - 16)

Чтобы функция была определена, знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому решим уравнение x^2 - 6x - 16 = 0:

x^2 - 6x - 16 = 0

Решим это квадратное уравнение, используя, например, метод дискриминанта:

D = (-6)^2 - 4(1)(-16) = 36 + 64 = 100

Так как дискриминант D положительный, у нас есть два корня:

x = (6 + √100) / 2 = (6 + 10) / 2 = 16/2 = 8 и x = (6 - √100) / 2 = (6 - 10) / 2 = -4/2 = -2

Область определения функции f(x) равна всем значениям x, кроме x = 8 и x = -2.

2. f(x) = √(x - 4) + 8 / (x^2 - 9)

Функция определена только при условии, что корень квадратный из (x - 4) существует и знаменатель (x^2 - 9) не равен нулю.

Значение подкоренного выражения (x - 4) должно быть больше или равно нулю:

x - 4 ≥ 0 x ≥ 4

Кроме того, знаменатель (x^2 - 9) не должен быть равен нулю. Решим это уравнение:

x^2 - 9 = 0

(x - 3)(x + 3) = 0

Таким образом, получаем два корня:

x - 3 = 0 => x = 3 и x + 3 = 0 => x = -3

Область определения функции f(x) равна всем значениям x, которые больше или равны 4 и не равны 3 и -3:

x ≥ 4, x ≠ 3, x ≠ -3.