Question

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: y=6x-x^2, y=0

Answer 1

Парабола y=6x-x²=х(6-х) пересекает ось ОХ в точках х=0 и х=6.Её вершина в точке (3,9), ветви вниз.
у=0 - это уравнение оси ОХ.

$S=\int _0^6\, (6x-x^2)\, dx=(6\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3})|_0^6=(3x^2-\frac{x^3}{3})_0^6=3\cdot 36-\frac{216}{3}=\\\\=108-72=36$

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной двумя кривыми, необходимо вычислить определенный интеграл от одной кривой до другой.

В данном случае, чтобы найти площадь фигуры, ограниченной кривыми y = 6x - x^2 и y = 0, необходимо вычислить интеграл от x = a до x = b, где a и b - значения x, при которых кривые пересекаются.

Сначала найдем точки пересечения кривых:

6x - x^2 = 0

x(6 - x) = 0

x = 0 или x = 6

Таким образом, фигура ограничена кривыми при x = 0 и x = 6.

Теперь вычислим площадь этой фигуры:

S = ∫[a, b] (y2 - y1) dx

где y1 = 6x - x^2 и y2 = 0.

S = ∫[0, 6] (0 - (6x - x^2)) dx

S = ∫[0, 6] (-6x + x^2) dx

S = [-3x^2 + (1/3)x^3] [0, 6]

S = (-3(6)^2 + (1/3)(6)^3) - (-3(0)^2 + (1/3)(0)^3)

S = (-3(36) + (1/3)(216)) - (0)

S = (-108 + 72) - 0

S = -36 + 72

S = 36

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривыми y = 6x - x^2 и y = 0, равна 36.