Question

Докажите sin2a= (2tga)/(1+tg^2a)

Answer 1

В обоих случаях расписываем тангенс, как синус деленный на косинус, получим:
1)2tga/1+tg^2a=(2sin a/cos a)/1+sin^2 a/cos^2 )=2sin a*cos a/(cos^2 a+sin^2 a)=
=2sin a*cos a=sin 2a
2)1-tg^2a/1+tg^a=(1-sin^2 a/cos^2 a)/(1+sin^2 a/cos^2 a)=
=(cos^2 a-sin^2 a)/(sin^2a_cos^2 a)=cos^2 a- sin^2 a=cos 2a

Answer 2

Для доказательства тождества sin(2a) = (2tan(a))/(1+tan^2(a)) мы можем использовать тригонометрические тождества. Давайте начнем с левой стороны и преобразуем ее:

sin(2a) = 2sin(a)cos(a) ---(1)

Теперь давайте рассмотрим правую сторону тождества:

(2tan(a))/(1+tan^2(a)) = (2sin(a)/cos(a))/(1+(sin^2(a)/cos^2(a))) ---(2)

Мы знаем, что tg(a) = sin(a)/cos(a), поэтому мы можем заменить tg(a) в (2):

(2sin(a)/cos(a))/(1+(sin^2(a)/cos^2(a))) = (2sin(a)/cos(a))/((cos^2(a)+sin^2(a))/cos^2(a))

Теперь упростим выражение:

= (2sin(a)/cos(a))*(cos^2(a)/(cos^2(a)+sin^2(a)))

= 2sin(a)cos^2(a)/(cos^2(a)+sin^2(a))

= 2sin(a)cos(a) ---(3)

Таким образом, мы видим, что правая сторона (3) равна левой стороне (1), что доказывает тождество sin(2a) = (2tan(a))/(1+tan^2(a)).