Question

Телефон передаёт SMS-сообщение. В случае неудачи телефон делает следующую попытку. Вероятность того, что сообщение удастся передать без ошибок в каждой отдельной попытке, равна 0,5. Найдите вероятность того, что для передачи сообщения потребуется не больше трёх попыток.

Answer 1

Ответ:

Вероятность того, что для передачи сообщения потребуется не больше трёх попыток равна 0,875.

Объяснение:

Требуется определить вероятность того, что для передачи сообщения потребуется не больше трёх попыток, если сообщение удается передать без ошибок с вероятностью 0,5 в каждом случае.

В соответствии с условием задачи сообщение удается передать либо с первой, либо со второй, либо с третьей попытки.

События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других. То есть, может произойти только или одно определённое событие, или другое.

Если сообщение будет передано в первую попытку, то вторая и третья попытки не наступят. Эти события являются несовместными.

Вероятность появления одного из нескольких несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

P(A+B) = P(A) +P(B).

Чтобы найти вероятность того, что для передачи сообщения потребуется не больше трёх попыток, нам нужно сложить вероятности успешных событий в каждом из трех случаев.

Произведением нескольких событий называется событие, которое наступает при одновременном появлении всех этих событий.

Для того, чтобы успешно отправить сообщение во вторую попытку, нужно, чтобы первая попытка была неуспешной.

Для того, чтобы успешно отправить сообщение в третью попытку, нужно, чтобы и первая и вторая попытки были неуспешными.

То есть должно быть совместное появление неуспешных событий в предыдущих случаях и успешного события в последующем случае.

По условию задачи вероятность того, что сообщение удастся передать без ошибок в каждой отдельной попытке, равна 0,5.

Обозначим событие A = {сообщение отправлено}; событие B = {сообщение НЕ отправлено}.

Вероятность Pₙ(A) = 0,5; Pₙ(B) = 1 - 0,5 = 0,5.

1-я попытка. Вероятность успеха равна P₁(A) =0,5.

2-я попытка наступает, когда первая попытка неуспешна. Вероятность успеха со второй попытки равна

P₂(A) = P₁(B) · Pₙ(A) = 0,5 · 0,5 = 0,25.

3-я попытка наступает, когда и первая и вторая попытки неуспешны.  

Вероятность успеха с третьей попытки равна

P₃(A) = P₁(B) · P₂(B) · Pₙ(A) = 0,5 · 0,5 · 0,5 = 0,125.

Вероятность того, что для передачи сообщения потребуется не больше трёх попыток равна сумме вероятностей успешной отправки sms в каждом из трех событий.

P(A) = P₁(A) + P₂(A) + P₃(A) = 0,5 + 0,25 + 0,125 = 0,875.

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать биномиальное распределение, так как у нас есть серия независимых испытаний (попыток) с фиксированной вероятностью успеха (0,5) в каждом испытании.

Вероятность успешной передачи сообщения без ошибок в одной попытке составляет 0,5. Тогда вероятность неудачи (ошибки) в одной попытке будет равна 1 - 0,5 = 0,5.

Мы хотим найти вероятность того, что сообщение будет передано без ошибок за не больше трёх попыток. Для этого нам нужно сложить вероятности успеха в одной, двух и трёх попытках.

Вероятность успешной передачи сообщения без ошибок в одной попытке: P(X = 1) = 0,5 Вероятность успешной передачи сообщения без ошибок в двух попытках: P(X = 2) = 0,5 * 0,5 = 0,25 Вероятность успешной передачи сообщения без ошибок в трёх попытках: P(X = 3) = 0,5 * 0,5 * 0,5 = 0,125

Теперь мы можем сложить эти вероятности, чтобы получить общую вероятность, которая составляет не более трёх попыток:

P(X ≤ 3) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = 0,5 + 0,25 + 0,125 = 0,875

Таким образом, вероятность того, что для передачи сообщения потребуется не более трёх попыток, составляет 0,875 или 87,5%.