Question

Упростить выражение tg^2a*ctg^2a - cos^2a

Answer 1

tg²α * Ctg²α - Cos²α = 1 - Cos²α = Sin²α

Были использованы формулы :

1) tgα * Ctgα = 1

2) Sin²α + Cos²α = 1     ⇒   1 - Cos²α = Sin²α

Answer 2

Для упрощения данного выражения, воспользуемся формулами тригонометрии:

1. Формула тангенса в квадрате: tg^2(a) = (sin^2(a) / cos^2(a)).
2. Формула котангенса в квадрате: ctg^2(a) = (cos^2(a) / sin^2(a)).
3. Формула косинуса в квадрате: cos^2(a) = 1 - sin^2(a).

Используя эти формулы, можем переписать исходное выражение:

tg^2(a)*ctg^2(a) - cos^2(a) = (sin^2(a) / cos^2(a)) * (cos^2(a) / sin^2(a)) - (1 - sin^2(a)).

Заметим, что sin^2(a) / cos^2(a) и cos^2(a) / sin^2(a) взаимно обратные значения, поэтому их произведение равно 1. Также упростим выражение 1 - sin^2(a) = cos^2(a).

Таким образом, получаем:

tg^2(a)*ctg^2(a) - cos^2(a) = 1 - cos^2(a).

Ответ: 1 - cos^2(a).