Question

Решите уравнение 5cosx+4 дробь 4tgx-3=0

Answer 1

Ответ:

$x=\pi -arccos\frac{4}{5}+2\pi n$,   n∈Z

Объяснение:

$\dfrac{5cosx+4}{4tgx-3}=0$

Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

$\left \{ {{5cosx+4=0} \atop {4tgx-3\neq 0}} \right.$

$\left \{ {{cosx=-\frac{4}{5}} \atop {tgx\neq \frac{3}{4} }} \right.$

Решим первое уравнение:

$cosx=-\dfrac{4}{5}$

$x=\pm arccos(-\frac{4}{5})+2\pi n$

Точки, соответствующие корням уравнения, отмечены на числовой окружности.

Найдем значения tgx, если cosx = - 4/5:

$tg^{2}x+1=\frac{1}{cos^{2}x}$

$tg^{2}x=\frac{25}{16}-1$

$tg^{2}x=\frac{9}{16}$

$tgx=\frac{3}{4}$     или      $tgx=-\frac{3}{4}$

В точке (2) $tgx=\frac{3}{4}$ (так как в третьей четверти tgx > 0), а значит знаменатель превращается в нуль, значит корень

$x=-arccos(-\frac{4}{5})+2\pi n$ не подходит.

В точке (1) $tgx=-\frac{3}{4}$   (так как во второй четверти tgx < 0), значит подходит корень

$x=arccos(-\frac{4}{5})+2\pi n$

$x=(\pi -arccos\frac{4}{5})+2\pi n$,   n∈Z

Answer 2

Для решения данного уравнения с тригонометрическими функциями, мы можем использовать алгебраические методы и свойства тригонометрических функций. Давайте решим его поэтапно.

Уравнение: 5cos(x) + (4/(4tg(x)-3)) = 0

Приведем дробь к общему знаменателю: 5cos(x) + [4/(4tg(x)-3)] = 0 5cos(x) + [4/(4sin(x)/cos(x) - 3)] = 0

Упростим дробь: 5cos(x) + [4cos(x)/(4sin(x) - 3cos(x))] = 0

Умножим оба выражения на (4sin(x) - 3cos(x)): 5cos(x)(4sin(x) - 3cos(x)) + 4cos(x) = 0

Раскроем скобки: 20sin(x)cos(x) - 15cos^2(x) + 4cos(x) = 0

Перепишем -15cos^2(x) + 20sin(x)cos(x) + 4cos(x) = 0 в виде квадратного трехчлена: -15cos^2(x) + (20sin(x) + 4)cos(x) = 0

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно cos(x).

Решим это уравнение методом факторизации:

cos(x)(-15cos(x) + 20sin(x) + 4) = 0

Отсюда получаем два возможных значения:

1. cos(x) = 0
2. -15cos(x) + 20sin(x) + 4 = 0

Решим каждое уравнение по отдельности:

1. cos(x) = 0 Это уравнение имеет два решения: x = π/2 + kπ и x = 3π/2 + kπ, где k - целое число.

2. -15cos(x) + 20sin(x) + 4 = 0 Данное уравнение не может быть решено аналитически в явном виде. Мы можем использовать численные методы, такие как метод Ньютона или метод половинного деления, чтобы найти приближенные значения решений.

Итак, решение исходного уравнения состоит из множества решений из первого и второго шагов.

x = π/2 + kπ, где k - целое число, и численные приближения решений уравнения -15cos(x) + 20sin(x) + 4 = 0.