Question

Дана функция у = -3cos2x а) Найдите производную функции. b) Составьте уравнение касательной в точке х =пи делить на 6​

Answer 1

а) Чтобы найти производную функции у = -3cos(2x), используем правило производной композиции функций:

(dy/dx) = (dy/du) * (du/dx)

где u = 2x, y = -3cos(u)

Тогда, находим производную каждой из компонент:

(dy/du) = 3sin(u)

(du/dx) = 2

Затем, подставляем найденные производные обратно в правило производной композиции:

(dy/dx) = (dy/du) * (du/dx) = 3sin(2x) * 2 = 6sin(2x)

Итак, производная функции y = -3cos(2x) равна 6sin(2x).

б) Чтобы составить уравнение касательной к функции y = -3cos(2x) в точке x = pi/6, нужно найти значение функции и производной в этой точке.

y(pi/6) = -3cos(2 * pi/6) = -3cos(pi/3) = -3 * (1/2) = -3/2

(dy/dx)(pi/6) = 6sin(2 * pi/6) = 6sin(pi/3) = 6 * (sqrt(3)/2) = 3sqrt(3)

Теперь, используем уравнение касательной:

y - y(pi/6) = (dy/dx)(pi/6) * (x - pi/6)

y + 3/2 = 3sqrt(3) * (x - pi/6)

y = 3sqrt(3)x - 5sqrt(3)/2

Таким образом, уравнение касательной к функции y = -3cos(2x) в точке x = pi/6 имеет вид y = 3sqrt(3)x - 5sqrt(3)/2.

Answer 2

a) Чтобы найти производную функции у = -3cos(2x), мы будем применять правило дифференцирования для функции косинуса и умножать его на производную аргумента. Применим это правило:

dy/dx = -3 * d(cos(2x))/dx

Дифференцируем функцию cos(2x) по переменной x:

d(cos(2x))/dx = -2sin(2x)

Теперь подставим это значение обратно в исходное уравнение:

dy/dx = -3 * (-2sin(2x)) = 6sin(2x)

Ответ: Производная функции у = -3cos(2x) равна 6sin(2x).

b) Чтобы составить уравнение касательной в точке x = π/6, нам понадобится найти значение функции и производной в этой точке.

Значение функции в точке x = π/6: y = -3cos(2(π/6)) = -3cos(π/3) = -3(1/2) = -3/2

Значение производной в точке x = π/6: dy/dx = 6sin(2(π/6)) = 6sin(π/3) = 6(√3/2) = 3√3

Теперь мы можем использовать найденные значения, чтобы составить уравнение касательной в точке x = π/6. Уравнение касательной имеет вид:

y - y₀ = m(x - x₀),

где (x₀, y₀) - координаты точки касания и m - значение производной в этой точке.

Подставим значения:

y - (-3/2) = (3√3)(x - π/6),

y + 3/2 = (3√3)(x - π/6),

y = (3√3)(x - π/6) - 3/2.

Ответ: Уравнение касательной в точке x = π/6 имеет вид y = (3√3)(x - π/6) - 3/2.