Question

Решите уравнение методом введения новой переменной 1. (x^2+x+1)(x^2+x+3)=15 2. (3x^2-8)^2-17(3x^2-8)-38=0

Answer 1

$1)\; \; (x^2+x+1)(x^2+x+3)=15\\\\t=x^2+x+1\; \; \to \; \; \; x^2+x+3=(x^2+x+1)+2=t+2\\\\t\, (t+2)=15\\\\t^2+2t-15=0\; \; ,\; \; D/4=1+15=16\; ,\; \; t_1=-1-4=-5\; ,\; t_2=-1+4=3\\\\a)\; \; x^2+x+1=-5\; \; ,\; \; x^2+x+6=0\; ,\; \; D=1-4\cdot 6$

$2)\; \; (3x^2-8)^2-17\, (3x^2-8)-38=0\\\\t=3x^2-8\; \; ,\; \; t^2-17t-38=0\; ,\; \; D=441=21^2\; ,\\\\t_1=-2\; ,\; \; t_2=19\\\\a)\; \; 3x^2-8=-2\; \; ,\; \; 3x^2=6\; \; ,\; \; x^2=2\; \; ,\; \; x=\pm \sqrt2\\\\b)\; \; 3x^2-8=19\; \; ,\; \; 3x^2=27\; \; ,\; \; x^2=9\; \; ,\; \; x=\pm 3\\\\Otvet:\; \; x_1=-\sqrt2\; ,\; x_2=\sqrt2\; ,\; x_3=-3\; ,\; x_4=3\; .$

Answer 2

1. Решим уравнение (x^2+x+1)(x^2+x+3) = 15 методом введения новой переменной.

Пусть u = x^2 + x + 2. Тогда уравнение принимает вид:

u(u + 1) = 15

Раскроем скобки:

u^2 + u = 15

Перенесем все в левую часть уравнения:

u^2 + u - 15 = 0

Теперь решим полученное квадратное уравнение. Можно воспользоваться факторизацией или формулой для решения квадратного уравнения.

(u + 5)(u - 3) = 0

Из этого уравнения получаем два возможных значения u:

u + 5 = 0 => u = -5 u - 3 = 0 => u = 3

Теперь вернемся к исходной переменной x:

Для u = -5:

x^2 + x + 2 = -5 x^2 + x + 7 = 0

Данное квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Для u = 3:

x^2 + x + 2 = 3 x^2 + x - 1 = 0

Решим это уравнение с помощью квадратного корня или формулы:

x = (-1 ± √(1^2 - 4 * 1 * (-1))) / (2 * 1) x = (-1 ± √(1 + 4)) / 2 x = (-1 ± √5) / 2

Таким образом, получаем два значения x:

x = (-1 + √5) / 2 x = (-1 - √5) / 2

2. Решим уравнение (3x^2-8)^2 - 17(3x^2-8) - 38 = 0 методом введения новой переменной.

Пусть u = 3x^2 - 8. Тогда уравнение принимает вид:

u^2 - 17u - 38 = 0

Мы получили квадратное уравнение относительно u. Решим его с помощью факторизации или формулы:

(u - 19)(u + 2) = 0

Отсюда получаем два возможных значения u:

u - 19 = 0 => u = 19 u + 2 = 0 => u = -2

Теперь вернемся к исходной переменной x:

Для u = 19:

3x^2 - 8 = 19 3x^2 = 27 x^2 = 9 x = ±3

Для u = -2:

3x^2 - 8 = -2 3x^2 = 6 x^2 = 2 x = ±√2

Таким образом, получаем четыре значения x:

x = 3, x = -