Question

Вычислите tg(pi/3 - arcctg 1/3)

Answer 1

tg(x-y) = (tg(x) - tg(y))/(1 + tg(x)·tg(y))

tg(pi/3 - arctg 1/3) = (  tg(pi/3) - tg(arctg 1/3)) / ( 1 + tg (pi/3)* tg(arctg 1/3))= (√3 -1/3)/(1+√3*1/3)=(3√3-1)/(3+√3)  это арктангенс

tg (arcctg x)= 1/ ctg(arcctg x)=1/x    x<>0

tg(pi/3 - arcсtg 1/3) = (  tg(pi/3) - tg(arcсtg 1/3)) / ( 1 + tg (pi/3)* tg(arctg 1/3))= (√3 -3)/(1+√3*3)=(√3-3)/(1+3√3)  это арккотангенс

Answer 2

Для вычисления значения выражения tg(pi/3 - arcctg 1/3), мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами.

Тождество 1: arcctg(x) = arctan(1/x) Тождество 2: tg(a - b) = (tg(a) - tg(b))/(1 + tg(a)*tg(b))

Применим тождество 1, чтобы заменить arcctg(1/3) на arctan(3): tg(pi/3 - arcctg 1/3) = tg(pi/3 - arctan(3))

Затем мы можем использовать тождество 2 для вычисления значения:

tg(pi/3 - arctan(3)) = (tg(pi/3) - tg(arctan(3)))/(1 + tg(pi/3)*tg(arctan(3)))

Вычислим значения:

tg(pi/3) = sqrt(3) tg(arctan(3)) = 3

Подставим значения в формулу:

(tg(pi/3) - tg(arctan(3)))/(1 + tg(pi/3)*tg(arctan(3))) = (sqrt(3) - 3)/(1 + sqrt(3)*3)

Для точного значения требуется рационализация знаменателя, умножим числитель и знаменатель на (1 - sqrt(3)*3):

((sqrt(3) - 3)/(1 + sqrt(3)*3)) * ((1 - sqrt(3)*3)/(1 - sqrt(3)3)) = (sqrt(3) - 3 - 3sqrt(3) + 9)/(1 - 33)

Упростим:

(-2 - 2sqrt(3))/(1 - 9) = (-2 - 2sqrt(3))/-8 = (2 + 2sqrt(3))/8 = (1 + sqrt(3))/4

Итак, tg(pi/3 - arcctg 1/3) = (1 + sqrt(3))/4.