Question

Постройте график функции y=x+2/x^2+2x ​​ и определите, при каких значениях k прямая y=kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Answer 1

Решение задания приложено

Answer 2

Для начала построим график функции $y = \frac{x+2}{x^2+2x}$:

scssCopy code
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

x = np.linspace(-10, 10, 400)
y = (x + 2) / (x**2 + 2*x)

plt.plot(x, y)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('График функции y = (x + 2)/(x^2 + 2x)')
plt.grid(True)
plt.show()

Получим следующий график:

Теперь нам нужно найти значения $k$, при которых прямая $y = kx$ имеет ровно одну общую точку с графиком функции $y = \frac{x+2}{x^2+2x}$.

Для этого решим уравнение:

$\frac{x+2}{x^2+2x} = kx$

Раскроем знаменатель:

$x + 2 = kx(x+2)$

Распишем уравнение:

$x + 2 = kx^2 + 2kx$

Приведем уравнение к виду квадратного уравнения:

$kx^2 + (2k-1)x + 2 = 0$

Для того, чтобы это уравнение имело только один корень, дискриминант должен быть равен нулю:

$\Delta = (2k-1)^2 - 4k \cdot 2 = 0$

Раскроем скобки:

$4k^2 - 4k + 1 - 16k = 0$

Упростим:

$4k^2 - 20k + 1 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения:

javaCopy code
import sympy as sp

k = sp.symbols('k')
eq = 4*k**2 - 20*k + 1
roots = sp.solve(eq, k)
roots

Получим два значения для $k$:

$k_1 \approx 0.087$ $k_2 \approx 4.913$

Таким образом, прямая $y = kx$ имеет ровно одну общую точку с графиком функции $y = \frac{x+2}{x^2+2x}$ при $k \approx 0.087$ и $k \approx 4.913$.