Question

Найдите предел lim ((2x+3)/(2x-1))^x x→∞

Answer 1

$\lim_{x \to \infty}((2x+3)/(2x-1))^x= \lim_{x \to \infty} (1+((2x+3)/(2x-1))-1)^x= \lim_{x \to \infty} [(1+(4/2x-1))^((2x-1)/4)]*(4/(2x-1))*x=e^ \lim_{x \to \infty} (4x/(2x-1))=e^ \lim_{x \to \infty} ((4x/x)/(2x/x-((1/x)->0)=e^2$

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать следующее свойство пределов: если f(x) стремится к бесконечности при x→∞, а g(x) — к конечному числу c, то (f(x))^g(x) стремится к бесконечности при x→∞.

Применяя это свойство, мы можем записать:

lim ((2x+3)/(2x-1))^x = lim ((2x+3)/(2x-1))^(x(2x-1)/(2x-1)) = lim ((2x+3)/(2x-1))^(2x-1/2x-1)^x

Заметим, что (2x+3)/(2x-1) можно переписать в виде (2 + 5/(2x-1)), тогда:

lim ((2x+3)/(2x-1))^x = lim ((2 + 5/(2x-1))/(2 - 1/(2x-1)))^x

При x→∞ в знаменателе дроби (2x-1) уходит на бесконечность, и мы можем считать, что 1/(2x-1) стремится к нулю. Поэтому:

lim ((2x+3)/(2x-1))^x = lim ((2 + 5/(2x-1))/(2 - 1/(2x-1)))^x = lim ((2 + 0)/(2 - 0))^x = lim 2^x = ∞

Таким образом, предел данной функции при x→∞ равен бесконечности.