Question

Решить уравнение .cosx+cos2x+cos3x=0

Answer 1

$cosx+cos2x+cos3x=0$
$(cosx+cos3x)+cos2x=0$
$2cos2xcosx+cos2x=0$
$cos2x(2cosx+1)=0$
$cos2x=0$                 или     $2cosx+1=0$
$2x= \frac{ \pi }{2} + \pi k,$  $k$ ∈  $Z$   или    $cosx=- \frac{1}{2}$  
$x= \frac{ \pi }{4} + \frac{ \pi k}{2} ,$  $k$ ∈  $Z$    или    $x=бarccos (- \frac{1}{2})+2 \pi n,$  $n$ ∈  $Z$
                                                    $x=б \frac{2 \pi }{3} +2 \pi n,$

$cosx+cosy=2cos \frac{x+y}{2} cos \frac{x-y}{2}$

Answer 2

Чтобы решить уравнение cos(x) + cos(2x) + cos(3x) = 0, давайте рассмотрим его шаг за шагом:

1. Используем тригонометрическую формулу для косинуса двойного угла: cos(2x) = 2cos^2(x) - 1. Теперь уравнение принимает вид: cos(x) + 2cos^2(x) - 1 + cos(3x) = 0.

2. Заменим cos(3x) с использованием формулы для косинуса тройного угла: cos(3x) = 4cos^3(x) - 3cos(x). Уравнение теперь выглядит так: cos(x) + 2cos^2(x) - 1 + 4cos^3(x) - 3cos(x) = 0.

3. Объединим все члены уравнения: 4cos^3(x) + 2cos^2(x) - 2cos(x) - 1 = 0.

4. Перепишем уравнение в виде кубического уравнения: 4cos^3(x) + 2cos^2(x) - 2cos(x) - 1 = (2cos(x) - 1)(2cos^2(x) + 2cos(x) + 1) = 0.

5. Решим два полученных уравнения по отдельности: a) 2cos(x) - 1 = 0: cos(x) = 1/2. Из таблицы значений косинуса знаем, что cos(x) = 1/2 при x = π/3 + 2πk и x = 5π/3 + 2πk, где k - целое число.

   b) 2cos^2(x) + 2cos(x) + 1 = 0: Решение этого уравнения можно найти с помощью квадратного трехчлена. Пусть t = cos(x). Тогда уравнение примет вид: 2t^2 + 2t + 1 = 0. Решая это квадратное уравнение, получим: t = -1 ± i√(2)/2. Заменяя обратно t на cos(x), получим: cos(x) = -1 ± i√(2)/2. Косинус не может быть комплексным числом, поэтому это решение не подходит.

Таким образом, решениями исходного уравнения cos(x) + cos(2x) + cos(3x) = 0 являются x = π/3 + 2πk и x = 5π/3 + 2πk, где k - целое число.