Question

Решите уравнение cos2x+sin^{2}x=0,5     Найдите все корни этого уравнения принадлежащие отрезку [(-7П/2); -2П]

Answer 1

щаа решим

cos2x+sinx+sinx*2x=0,5

1-2sin*2x+sin*2x=0,5

0,5=sin*2x

sinx=корень из 2/2=П/4

x=(-1) arcsin п/4 + Пn, н принадлежит зэт

не принадлежит

все!

Answer 2

Используем тригонометрический тождество $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ и получаем $\cos^2 x + \sin^2 x - 1/2 = 0$. Тогда уравнение можно переписать как $\cos^2 x + (1 - \cos^2 x) - 1/2 = 0$, что равносильно $\cos^2 x - 1/2 = 0$. Решим это уравнение: $\cos x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Таким образом, корни уравнения имеют вид $x = \frac{\pi}{4} + k\pi$ или $x = \frac{7\pi}{4} + k\pi$, где $k$ - целое число.

Найдем все корни, принадлежащие отрезку $[-\frac{7\pi}{2}, -2\pi]$. Проверим первый знак: $\frac{\pi}{4} + k\pi \le -\frac{7\pi}{2}$ эквивалентно $k \le -\frac{15}{2}$. Таким образом, возможные значения для $k$ - целые числа от $-8$ до $-16$. Проверим второй знак: $\frac{7\pi}{4} + k\pi \le -\frac{7\pi}{2}$ эквивалентно $k \le -\frac{11}{2}$. Таким образом, возможные значения для $k$ - целые числа от $-6$ до $-11$.

Итак, все корни на отрезке $[-\frac{7\pi}{2}, -2\pi]$ имеют вид: $x_i = \frac{\pi}{4} - i\pi$ для $i = 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16$ и $x_j = \frac{7\pi}{4} - j\pi$ для $j = 6, 7, 8, 9, 10, 11$.