Question

найти значение выражения sin(П\\4-альфа)cos(П\\4-альфа), если известно, что sinчетвертой степени альфа - cosчетвертой степени альфа=0,5.

Answer 1

sin⁴α-cos⁴α =0.5

(sin²α-cos²α)( sin²α+cos²α )=0.5

sin²α-cos²α =0.5

 

sin(pi/4 - α)*cos(pi/ - α)= (sin(pi/4)*cosα - cos(pi/4)*sinα) * (cos(pi/4)*cosα + sin(pi/4)*sinα) =  (√2/2*cosα - √2/2*sinα) * (√2/2*cosα + √2/2*sinα) = √2/2 *  (cosα- sinα) * √2/2*(cosα + sinα) = 2/4 * (sin²α - cos²α)= 0.5 * 0.5= 0.25

Answer 2

Можно воспользоваться формулами для приведения косинуса и синуса к общему знаменателю:

sin(П\\4-альфа)cos(П\\4-альфа) = (sin(П\\4)cos(альфа)-cos(П\\4)sin(альфа))(cos(П\\4)cos(альфа)+sin(П\\4)sin(альфа))

= sin(П\\4)cos(П\\4)cos(альфа)cos(альфа)-sin(П\\4)cos(П\\4)sin(альфа)sin(альфа)

= 1/2 * (cos(2альфа)-sin(2альфа))

Из условия задачи известно, что sin(альфа)^4 - cos(альфа)^4 = 0,5. Пользуясь формулой (a^2-b^2) = (a-b)(a+b), можно раскрыть скобки:

(sin(альфа)^2 - cos(альфа)^2)(sin(альфа)^2 + cos(альфа)^2) = 0,5

(sin(альфа)^2 - cos(альфа)^2) = 0,5/sin(альфа)^2

Пользуясь формулами sin^2(альфа)+cos^2(альфа)=1 и cos(2альфа) = cos^2(альфа)-sin^2(альфа), можно выразить cos(альфа) и sin(альфа) через sin^2(альфа):

cos(альфа) = sqrt(1-sin^2(альфа))

cos(2альфа) = 1 - 2sin^2(альфа)

Подставляя эти выражения в формулу для sin(П\\4-альфа)cos(П\\4-альфа), получаем:

sin(П\\4-альфа)cos(П\\4-альфа) = 1/2 * (1-3sin^2(альфа))

Таким образом, значение выражения зависит от значения sin^2(альфа), которое можно найти из заданного уравнения. Решая его, получаем:

sin^2(альфа) = 1/(2sqrt(2))

Подставляя это значение в формулу для sin(П\\4-альфа)cos(П\\4-альфа), получаем:

sin(П\\4-альфа)cos(П\\4-альфа) = 1/2 * (1 - 3/(2sqrt(2))) ≈ -0,0669