Question

Решить линейное диференциальное уравнение: y=x(y\'-xcosx) Помогите пожалуйста, буду очень благодарен!!

Answer 1

y=x(y'-xcosx)
y/x=y'-xcosx
y' -y/x=xcosx
Это линейное дифф. ур. первого порядка. Решаем методом Бернулли. Делаем замену переменных.
y=uv, y'=u'v+uv'
u'v+uv' - uv/x=xcosx
u'v+u (v'-v/x)=xcosx
Решаем систему 
v'-v/x=0
u'v=xcosx

v'=v/x
dv/dx=v/x
dv/v=dx/x
lnv=lnx 
v=x

u'x=xcosx
u'=cosx
u=sinx +C
y=x(sinx+C)

Answer 2

Можно разделить уравнение на x и переписать его в виде:

y/x = y' - xcosx

Теперь заметим, что левая часть зависит только от y, а правая - от x и y'. Это значит, что уравнение можно разделить на две части:

y/x = C1 (где C1 - произвольная константа)

y' - xcosx = C1

Первое уравнение легко решается путем перемножения обеих частей на x:

y = C1x

Второе уравнение - линейное дифференциальное уравнение первого порядка, которое решается методом интегрирующего множителя. Учитывая, что коэффициент при y' равен -x*cosx, можно выбрать интегрирующий множитель в виде:

μ(x) = e^(int(-xcosx dx)) = e^(sinx - xcosx)

Умножим обе части уравнения на μ(x):

e^(sinx - xcosx) y' - xe^(sinx - xcosx)cosx = C1e^(sinx - xcosx)

Теперь можно заметить, что левая часть - производная от (e^(sinx - xcosx) y), а правая - производная от (C1e^(sinx - xcosx)). Это значит, что обе части можно проинтегрировать:

e^(sinx - xcosx) y = C1e^(sinx - xcosx) + C2

y = C1 + C2e^(-sinx + xcosx)

Таким образом, решение уравнения имеет вид:

y(x) = C1x + C2e^(-sinx + xcosx)