Question

Чему равно наибольшее и наименьшее значение функции у = – х2 + 4х + 2 на промежутке [0;4]​

Answer 1

y = - x² + 4x + 2

Найдём производную :

y' =(- x² + 4x + 2)' = (- x²)' + 4(x)' + 2' = - 2x + 4

Приравняем производную к нулю, найдём критические точки :

- 2x + 4 = 0

- 2x = - 4

x = 2

Эта точка принадлежит отрезку [0 ; 4] .

Найдём значения функции в этой точке и на концах отрезка

и сравним их :

y(0) = - 0² + 4 * 0 + 2 = 2

y(2) = - 2² + 4 * 2 + 2 = - 4 + 8 + 2 = 6

y(4) = - 4² + 4 * 4 + 2 = - 16 + 16 + 2 = 2

Наименьшее значение функции на заданном отрезке равно 2 , а наибольшее равно 6 .

Answer 2

Находим вершину параболы:

x = –b/2a = –4/–2 = 2

Подставляем x = 2 в функцию:

y = –2^2 + 4*2 + 2 = 2

Значит, максимальное значение функции на отрезке [0;4] равно 2.

Так как a < 0, то функция убывает на всей числовой прямой. Значит, наименьшее значение функции достигается либо в точке 0, либо в точке 4:

y(0) = –0^2 + 4*0 + 2 = 2

y(4) = –4^2 + 4*4 + 2 = –6

Значит, наименьшее значение функции на отрезке [0;4] равно –6.