Question

Помогите решить, пожалуйста, показательное уравнение! 5^(2x+1) + 5^(1-2x) -31(5^x + 5^-x) + 36=0

Answer 1

5^(2x+1)+5^(1-2x)-31(5^x+5^-x)+36=0
5 * 5^(2x) +    5     -31 (5^x +  1  ) +36=0
                 5^(2x)                 5^x
Обозначим 5^x=y. Тогда получим:
5у² + 5  - 31(у +   1  ) +36 =0
        у²               у
5(у² + 1 ) -31(у + 1 ) +36 =0
          у²             у
Вводим новую переменную:
        у+ 1 =а
             у
       (у+ 1 )² =а²
             у
        у²+2+ 1 =а²
                  у²
        у²+ 1 =а² - 2
              у²
Выполнив подстановку, получим:
5(а²-2)-31а+36=0
5а²-10-31а+36=0
5а²-31а+26=0
Д=31²-4*5*36=961-520=441=21²
а₁= 31-21= 1
       10
а₂= 31+21=5,2
         10

у+ 1 = 1
     у
у²+1=у
у²-у+1=0
Д=1-4=-3<0
нет решений

у+ 1 =5,2
     у
у²+1=5,2у
у²-5,2у+1=0
Д=5,2²-4=23,04
у₁= 5,2-√23,04 = 5,2-4,8=0,2
           2               2
у₂= 5,2+√23,04= 5,2+4,8=5
            2              2 

5^x=0.2
5^x=1/5
5^x=5⁻¹
x=-1

5^x=5
5^x=5¹
x=1

Ответ: -1; 1.

Answer 2

Дано показательное уравнение:

5^(2x+1) + 5^(1-2x) - 31(5^x + 5^(-x)) + 36 = 0

Мы можем заметить, что 36 = 6^2, а 31 = 36 - 5. Поэтому мы можем переписать уравнение в следующем виде:

5^(2x+1) + 5^(1-2x) - 5(5^x + 5^(-x)) - 5^2 + 6^2 = 0

Теперь мы можем ввести новую переменную, например y = 5^x. Тогда мы можем переписать уравнение в следующем виде:

5y^2 + 5/y - 5(y + 1/y) - 25 + 36 = 0

Упрощая, получим:

5y^3 - 5y^2 - 5y + 5 - 11 = 0

5y^3 - 5y^2 - 5y - 6 = 0

Мы можем заметить, что y = 1 является решением этого уравнения. Теперь мы можем разделить уравнение на (y-1) и решить получившееся квадратное уравнение:

5y^2 + 5y + 6 = 0

Дискриминант этого уравнения D = 5^2 - 456 = -80, что меньше нуля, поэтому уравнение не имеет решений.

Итак, мы получили, что y = 1 является единственным решением уравнения. Теперь мы можем вернуться к исходной переменной:

y = 5^x

5^x = 1

x = 0

Ответ: x = 0.