Question

Квадратичная функция заданная формулой у=ах в квадрате -8х+5 а)Найдите значения коэффициента а,если известно,что прямая х=2 является осью симетрии параболы б)Найдите наименшее значение функции в)Постройте график функции

Answer 1

а) Если известно,что прямая х=2 является осью симметрии параболы, то координата хо вершины параболы равна 2.
Из уравнения координаты вершины параболы хо = -в / 2а определяем:
а = -в / 2хо = -(-8) / 2*2 = 8/4 = 2.
Получаем уравнение параболы у = 2х² - 8х + 5.

б) Н аименьшее значение функции уо = 2*2²  - 8*2 + 5 = 8 - 16 + 5 = -3.

в) График - в приложении.

Answer 2

а) Так как прямая $x=2$ является осью симметрии параболы, то коэффициент при $x$ в квадрате должен быть равен нулю. Из формулы $у=ах^2-8х+5$ следует, что это будет выполнено при $a=0$.

б) Для нахождения наименьшего значения функции можно воспользоваться методом завершения квадрата. Сначала выразим квадратичный член в канонической форме:

$$у=a(x-2)^2 + k$$

где $k$ - некоторая константа. Тогда наименьшее значение функции будет достигаться в точке $(2, k)$. Для нахождения значения $k$ раскроем скобки и приведем подобные члены:

$$у=a(x^2-4x+4) + k= ax^2 - 4ax + (4a+k)$$

Так как квадратичный член при $x$ должен быть равен нулю, то $a=0$ не подходит. Поэтому продолжим вычисления, приравнивая производную функции к нулю:

$$\frac{dy}{dx} = 2ax-8=0,$$

откуда $x=4/a$. Подставляя это значение в формулу для $y$, получаем

$$k=a\left(\frac{4}{a}\right)^2-8\cdot \frac{4}{a}+5=-\frac{7a}{4}.$$

Таким образом, наименьшее значение функции достигается в точке $(2, -\frac{7a}{4})$.

в) Чтобы построить график функции, можно воспользоваться полученными ранее результатами. Если $a>0$, то парабола будет направлена вверх, а если $a<0$, то вниз. Также мы знаем, что осью симметрии является прямая $x=2$, и что наименьшее значение функции достигается в точке $(2, -\frac{7a}{4})$.

Рассмотрим несколько случаев.

Если $a=1$, то уравнение параболы примет вид $у=x^2-8x+5$, и ее график будет выглядеть следующим образом:

Если $a=-1$, то уравнение параболы примет вид $у=-x^2-8x+5$, и ее график будет выглядеть следующим образом:

Общий вид графика квадратичной функции $у=ах^2-