Question

Докажите тождествоtga+ctgb/ctga+tgb=tga*ctgb

Answer 1

Tga+ctgb=(sinasinb+cosacosb)/cosasinb=cos(a-b)/cosasinb
tga+ctgb=(cosacosb+sinbsina)/sinacosb=cos(a-b)/sinacosb

tga+ctgb/tga+ctgb=cos(a-b)/cosasinb : cos(a-b)/sinacosb=
=cos(a-b)/cosasinb *sinacosb/cos(a-b)=tgactgb

Answer 2

Для доказательства данного тождества, мы можем воспользоваться формулой тангенса суммы двух углов:

tg(a + b) = (tga + tgb)/(1 - tga * tgb)

Также мы можем записать ctg(a) как 1/tg(a):

ctg(a) = 1/tg(a)

ctg(b) = 1/tg(b)

Преобразуем левую часть тождества, заменяя tg(a + b) на полученную формулу:

tg(a + b) = (tga + tgb)/(1 - tga * tgb)

tg(a + b) * ctg(a) = (tga + tgb)/(1 - tga * tgb) * ctg(a)

tg(a) * ctg(b) + ctg(a) * tg(b) = (tga * ctg(a) + tgb * ctg(a) * tg(a) * tgb) / (1 - tga * tgb)

Перенесем все слагаемые с ctg(a) на левую сторону:

tg(a) * ctg(b) - tga * ctg(a) = tgb * ctg(a) * tg(a) * tgb - ctg(a) * tg(b) * (1 - tga * tgb)

Выразим ctg(b) через tg(b) и упростим выражение:

ctg(b) = 1/tg(b)

tg(a) * (1/tg(b)) - tga * (1/tg(a)) = tgb * (1/tg(a)) * tg(a) * tgb - (1/tg(b)) * tg(b) * (1 - tga * tgb)

tg(a)/tg(b) - tga/ctga = tgb^2 - 1/ctgb

tg(a)/tg(b) - tga/ctga = (tg(a) * ctgb)^2 - 1/ctgb

tg(a)/tg(b) - tga/ctga + tga/ctga = (tg(a) * ctgb)^2 - 1/ctgb + tga/ctga

tg(a)/tg(b) = tg(a) * ctgb^2 - 1/ctgb^2 + tga/ctga

tg(a)/tg(b) = tg(a) * ctgb^2 + ctga/tga - 1/ctgb^2tga

Перенесем все слагаемые с tg(a) на правую сторону:

tg(a)/tg(b) - tg(a) * ctgb^2 = ctga/tga - 1/ctgb^2tga

tg(a) * (1/tg(b) - ctgb^2) = ctga/tga - 1/ctgb^2tga

tg(a) * (ctgb^2 - 1/tg(b)) = ctga/tga - 1/ctgb^2tga

tg(a) * ctgb * (tg(b) - 1/ctgb^2) = ctga/tga - 1/ctgb^2tga

tg(a) * ctgb = (ctga * ctgb)/tga - tgb/ctgb

tg(a) * ctgb = (ctga * ctgb * ctgb - tga * tgb) / ct