Question

Первые члены арифметической и геометрической возрастающих прогрессий одинаковы, и каждый из них равен 3. Вторые члены прогрессий тоже равны между собой. Третий член геометрической прогрессии относится к третьему члену арифметической прогрессии, как 9:5. Найдите эти прогрессии

Answer 1

a₁=b₁=3

a₁+d=b₁q=a₁q         d=a₁q-a₁

a₁q²/(a+2d)=9/5

5a₁q²=9*(a₁+2d)

5a₁q²=9a₁+18d

5a₁q²=9a₁+18*(a₁q-a₁)

5a₁q²=9a₁+18a₁q-18a₁

5a₁q²=18a₁q-9a₁  |÷a₁

5q²=18q-9

5q²-18q+9=0     D=144       √D=12

q₁=3          ⇒        d=3*3-3=9-3=6

q₂=0,6     ⇒        d=3*0,6-3=-1,2      ⇒

1) Геометрическая прогрессия (b₁=3, q=3): 3; 9; 27; 81; ...

  Арифметическая прогрессия (a₁=3, d=6): 3; 9; 15; 21; ...

2) Геометрическая прогрессия   (b₁=3, q=0,6): 3; 1,8; 1,08; ...

    Арифметическая прогрессия  (a₁=3, d=-1,2): 3; 1,8; 0,6; ...

Answer 2

Обозначим первые члены обеих прогрессий как a. Тогда, по условию, имеем: a = 3

Пусть вторые члены обеих прогрессий равны b. Тогда имеем: b - a = d (арифметическая прогрессия) b/a = q (геометрическая прогрессия)

где d - разность арифметической прогрессии, q - знаменатель геометрической прогрессии.

Также по условию известно, что:

b = a + d (арифметическая прогрессия) q^2 = 9/5 (отношение третьих членов прогрессий)

Из последнего уравнения находим:

q = √(9/5) = 3/√5

Теперь можем выразить вторые члены обеих прогрессий через a и d:

b = a + d b = aq

Таким образом, получаем два уравнения:

a + d = aq a + d = a(3/√5)

Сокращаем обе части уравнений на (a + d) и получаем:

q = 3/√5

Подставляем q в уравнение для геометрической прогрессии:

b/a = q

Получаем:

b/a = 3/√5

Таким образом, имеем:

a = 3 b = 9/√5 d = b - a = (9/√5) - 3

Таким образом, арифметическая прогрессия имеет первые члены 3, 3 + d, 3 + 2d, 3 + 3d, и т.д., где d = (9/√5) - 3.

Геометрическая прогрессия имеет первые члены 3, 9/√5, 27/5, 81/(5√5), и т.д., с знаменателем, равным 3/√5.