Question

Помогите, пожалуйста, с уравнениями. 1) \frac{5^{x+1} - 3^x}{3^{x+2} - 5^x} = 1 2) 3^{2x-1} = 7^{3-x} 3) 4^{2x-6} - 7^{x-3} = 0 4) 2^{5x+6} - 7^{5x+2} - 2^{5x+3} - 7^{5x-1} = 0 5) 2^{x^{2} - 4x+ 5} = 4x - 2 - x^{2}

Answer 1

$1)\; \; \frac{5^{x+1}-3^{x}}{3^{x+2}-5^{x}}=1\; \; \to \; \; 5^{x+1}-3^{x}=3^{x+2}-5^{x}\; ,\\\\5^{x+1}+5^{x}=3^{x+2}+3^{x}\; ,\; \; 5^{x}\cdot (5+1)=3^{x}\cdot (3^2+1)\; ,\\\\\frac{5^{x}}{3^{x}}=\frac{10}{6}\; ,\; \; (\frac{5}{3})^{x}=\frac{5}{3}\; \; \to \; \; \underline {x=1}\\\\2)\; \; 3^{2x-1}=7^{3-x}\\\\\frac{3^{2x}}{3}=\frac{7^3}{7^{x}}\; ,\; \; 9^{x}\cdot 7^{x}=7^3\cdot 3\; ,\; \; (9\cdot 7)^{x}=1029\\\\x=log_{63}1029\\\\3)\; \; 4^{2x-6}-7^{x-3}=0\\\\\frac{4^{2x}}{4^6}=\frac{7^{x}}{7^3}\; ,\; \; \frac{16^{x}}{7^{x}}=\frac{4^6}{7^3}\; ,\; \; (\frac{16}{7})^{x}=\frac{4096}{343}\\\\x=log_{\frac{16}{7}}\frac{4096}{343}$

$4)\; \; 2^{5x+6}-7^{5x+2}-2^{5x+3}-7^{5x-1}=0\\\\2^{5x}(2^6-2^3)=7^{5x}(7^2+7^{-1})\\\\(\frac{2}{7})^{5x}=\frac{\frac{344}{7}}{56}\; ,\; \; (\frac{2}{7})^{5x}=\frac{344}{7\cdot 56} \; ,\; \; (\frac{2}{7})^{5x}= \frac{43}{49}\; ,\\\\5x=log_{2/7}\frac{43}{49}\; ,\; \; x=\frac{1}{5}\cdot log_{2/7}\frac{43}{49}$

$5)\; \; 2^{x^2-4x+5}=4x-2-x^2\; \; \Rightarrow \; \; \; x=2$

В левой части равенства показательная функция всегда положительна и возрастающая, т.к. основание 2>1 . В правой части равенства - квадратичная функция, график - парабола, ветви которой направлены вниз, вершина в точке (2,2). То есть при х=2 квадр. ф-ция принимает своё наибольшее значение  $4\cdot 2-2-2^2=2$  .
При х=2 показательная функция принимает значение:
  $2^{4-8+5}=2^1=2$  , поэтому точка пересечения графиков единственная, х=2.

Answer 2

1. $\frac{5^{x+1} - 3^x}{3^{x+2} - 5^x} = 1$

Перепишем уравнение в виде:

$5^{x+1} - 3^x = 3^{x+2} - 5^x$

$5^{x+1} + 5^x = 3^{x+2} + 3^x$

Перенесём всё в левую часть уравнения и сгруппируем множители:

$5^x (5 + 1) - 3^x (1 + 3) + 3^{x+2} (1) = 0$

$6 \cdot 5^x - 4 \cdot 3^x = 0$

$3^x (3^{x} - 2 \cdot 5^{x-1}) = 0$

$3^x = 0$ не имеет решений, так как ни одна степень числа 3 не может быть равной 0.

$3^{x} - 2 \cdot 5^{x-1} = 0$

$3^{x} = 2 \cdot 5^{x-1}$

$x = \log_{5} \frac{3}{2}$.

Ответ: $x = \log_{5} \frac{3}{2}$.

2. $3^{2x-1} = 7^{3-x}$

Перепишем уравнение с использованием общей степени:

$3^{2x-1} = (3^{\log_3 7})^{3-x}$

$3^{2x-1} = 7^{3-x} = (7^{\log_7 3})^{2x-1}$

Используя свойство равенства степеней с одинаковым основанием, получаем:

$3^{\log_3 7 \cdot (2x-1)} = 7^{\log_7 3 \cdot (2x-1)}$

Так как $\log_3 7$ и $\log_7 3$ обратны друг другу, то уравнение можно записать как:

$(2x-1)\log_3 7 = (3-x)\log_7 3$

$2x\log_3 7 - \log_3 7 = 3\log_7 3 - x\log_7 3$

$2x\log_3 7 + x\log_7 3 = 3\log_7 3 + \log_3 7$

$x = \frac{3\log_7 3 + \log_3 7}{2\log_3 7 + \log_7 3}$

Ответ: $x = \frac{3\log_7 3 + \log_3 7}{2\log_3 7 + \log_7 3}$.

3. $4^{2x-6} - 7^{x-3} = 0$

Заметим, что $4 = 2^2$, поэтому можно переписать уравнение:

$(2^2)^{2x-6} - 7^{x-3} = 0$

$2^{4x-12}