Question

Помогите пожалуйста Доказать, что ни при каких значениях a и b выражение 5а^2+3b^2+20a-12b+34 не может обращаться в ноль

Answer 1

5a^2+3b^2+ 20a- 12b+34 =5a^2+ 20a+20+3b^2-12b+12+2= 5(a^2+4a+4)+3(b^2-4b+4)+2=5(a+2)^2+3(b-2)^2+2>=2

Answer 2

Для доказательства того, что выражение $5a^2+3b^2+20a-12b+34$ не может обращаться в ноль при любых значениях $a$ и $b$, можно воспользоваться методом полного квадрата.

Заметим, что первые два слагаемых $5a^2+3b^2$ являются положительными квадратичными выражениями, которые могут обращаться в ноль только при $a=b=0$. Однако, в этом случае третье слагаемое $20a$ и четвертое слагаемое $-12b$ не равны нулю, а последнее слагаемое равно 34. Следовательно, выражение не может обращаться в ноль при $a=b=0$.

Теперь попробуем привести данное выражение к форме полного квадрата. Для этого сгруппируем первые два и последние два слагаемых:

$$(5a^2+20a) + (3b^2-12b+34) = 5(a^2+4a) + 3(b^2-4b+11)$$

Для того чтобы привести каждую скобку к полному квадрату, добавим и вычтем соответствующие константы внутри каждой скобки:

$$5(a^2+4a+4-4) + 3(b^2-4b+4-4+11) = 5[(a+2)^2-4] + 3[(b-2)^2+3]$$

Заметим, что выражения $(a+2)^2-4$ и $(b-2)^2+3$ являются положительными квадратичными выражениями и не могут обращаться в ноль при любых значениях $a$ и $b$. Следовательно, выражение $5a^2+3b^2+20a-12b+34$ не может обращаться в ноль при любых значениях $a$ и $b$.