Question

Чему равно sin 0 + sin 1 + sin 2 + sin 3... + sin 359 + sin 360 ?

Answer 1

Ответ:

решение представлено на фото

Answer 2

Заметим, что сумма всех углов от 0 до 360 градусов составляет полный оборот, то есть 360 градусов. Таким образом, мы можем переписать заданную сумму в следующем виде:

sin 0 + sin 1 + sin 2 + sin 3 + ... + sin 358 + sin 359 + sin 360

sin 0 и sin 360 равны нулю, поскольку они соответствуют углам, кратным 360 градусам, а sin(x) = sin(x + 360k) для любого целого k. Таким образом, мы можем упростить сумму, удалив sin 0 и sin 360:

sin 1 + sin 2 + sin 3 + ... + sin 358 + sin 359

Эта сумма может быть выражена в виде суммы синусов и косинусов от 1 до 360 градусов. Для этого мы можем использовать формулу Эйлера:

e^(ix) = cos(x) + i sin(x)

где i - это мнимая единица. Распишем это выражение для каждого угла от 1 до 360 градусов:

e^(i1) = cos(1) + i sin(1) e^(i2) = cos(2) + i sin(2) ... e^(i358) = cos(358) + i sin(358) e^(i359) = cos(359) + i sin(359)

Теперь мы можем записать сумму синусов как мнимую часть суммы всех выражений e^(ix):

sin 1 + sin 2 + sin 3 + ... + sin 358 + sin 359 = Im(e^(i1) + e^(i2) + e^(i3) + ... + e^(i358) + e^(i*359))

Мы можем найти сумму выражений e^(ix) с помощью формулы геометрической прогрессии:

S = (1 - e^(i*360))/(1 - e^(i))

Подставим значения:

S = (1 - e^(i*360))/(1 - e^(i)) = (1 - cos(360) - i sin(360))/(1 - cos(1) - i sin(1)) = (1 - 1)/(1 - cos(1) - i sin(1)) = 0/(1 - cos(1) - i sin(1)) = 0

Таким образом, сумма sin 0 + sin 1 + sin 2 + sin 3... + sin 359 + sin 360 равна 0.