Question

Cos 2x=1+4cos x Решить уравнение

Answer 1

$cos2x=1+4cosx$
$cos^{2}x-sin^{2}x=1+4cosx$
$cos^{2}x-1+cos^2x=1+4cosx$
$2cos^{2}x-4cosx-2=0$
$cos^{2}x-2cosx-1=0$
Заменяем косинус
$cosx=y$
$y^{2}-2y-1=0$
$y=\frac{1+- \sqrt{2}}{2}$
$cosx=\frac{1+ \sqrt{2}}{2}$
$x=arccos(\frac{1+ \sqrt{2}}{2})+2 \pi k$, k∈Z
$cosx=\frac{1- \sqrt{2}}{2}$
$x=arccos(\frac{1- \sqrt{2}}{2})+2 \pi k$, k∈Z

Answer 2

Начнем с приведения квадратичного члена в левой части уравнения к более удобному виду, используя формулу двойного угла:

cos 2x = 2 cos^2 x - 1

Теперь мы можем переписать исходное уравнение следующим образом:

2 cos^2 x - 1 = 1 + 4 cos x

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные:

2 cos^2 x - 4 cos x - 2 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение, используя обычную формулу:

cos x = [4 ± √(16 + 16)] / 4

cos x = [4 ± 4√2] / 4

cos x = 1 ± √2

Таким образом, решением уравнения являются:

cos x = 1 + √2 или cos x = 1 - √2

Чтобы проверить эти ответы, мы можем подставить их в исходное уравнение и убедиться, что оно выполняется.