Question

Докажите,что если a,b,c- целые числа и a+b+c делится на 6, то и a3+b3+c3 делится на 6

Answer 1

Чтобы сумма трёх чисел делилась на шесть, необходимо, чтобы она была чётной. Чётной она будет тогда, когда либо все три числа чётные, либо когда одно четное и два нечётных. Т.е. у нас хотя бы одно число из трёх будет чётным, пусть это будет число $b.$

$a^3 + x^3 = (a + b)(a^2 - ax + x^2)\\\\ a^3 + (b + c)^3 = (a + b + c)(a^2 - a(b + c) + (b + c)^2)\\\\ a^3 + b^3 + 3b^2c + 3bc^2 + c^3 = (a + b + c)(a^2 - a(b + c) + (b + c)^2)\\\\ a^3 + b^3 + c^3 = (a + b + c)(a^2 - a(b + c) + (b + c)^2) - 3b^2c - 3bc^2$

Так как было положено, что $b$ чётное, то его можно представить в виде: $b = 2n, \ n \in \mathbb{N}$
В свою очередь, $a + b + c = 6m, \ m \in \mathbb{N}.$

Получим:

$a^3 + b^3 + c^3 = 6m(a^2 - a(b + c) + (b + c)^2) - 3 \cdot 4n^2c - 3\cdot2nc^2 =\\\\ = 6\left(m(a^2 - a(b + c) + (b + c)^2) - 2n^2c - nc^2\right)$

Что и требовалось доказать.