Question

Выражение sinα|sinα|+cosα|cosα|, где 270° < α < 360°, равно

Answer 1

Альфа принадлежит IV четверти в тригонометрическом круге. В IV четверти синус отрицательный, а косинус положительный. Значит синус из модуля выйдет со знаком минус, а косинус со знаком плюс.

$sin\alpha |sin\alpha| + cos\alpha |cos \alpha|= sin\alpha \cdot (-sin\alpha) + cos\alpha \cdot cos \alpha = \\ =-sin^{2}\alpha + cos^{2}\alpha = -(1-cos^{2}\alpha) + cos^{2}\alpha = 2cos^{2} \alpha-1$

Answer 2

Поскольку угол α лежит в четвертой четверти, то sinα < 0, а cosα > 0. Также мы знаем, что |sinα| = -sinα и |cosα| = cosα, так как sinα и cosα отрицательны в данном интервале.

Теперь можем заменить |sinα| на -sinα и |cosα| на cosα в исходном выражении: sinα|sinα|+cosα|cosα| = sinα*(-sinα) + cosα*cosα = -sin²α + cos²α = cos²α - sin²α

Мы можем использовать тригонометрическое тождество cos²α - sin²α = cos(2α). Поскольку 270° < α < 360°, то 540° < 2α < 720°, т.е. 2α лежит в первой четверти. Поэтому, cos(2α) = cos(2α - 360°) = cos(2(α - 180°)).

Таким образом, мы можем записать ответ как cos(2(α - 180°)). Выражение (α - 180°) представляет угол между осью x и лучом, идущим из начала координат в точку (cosα, sinα). Таким образом, это угол синуса равен sinα/|sinα|. В данном случае, sinα < 0, поэтому угол (α - 180°) лежит в третьей четверти.

Таким образом, ответ на выражение sinα|sinα|+cosα|cosα| для 270° < α < 360° равен cos(2(α - 180°)) = cos(2(α - 540°)).