Question

Помогите пожалуйста решить завтра контрольная не могу решить Найти условный экстремум функции. 26. u=4x+9y+8z при x^2yz =7000.

Answer 1

Ответ:

фФ

Объяснение:

фывф

Answer 2

Чтобы найти условный экстремум функции u(x, y, z) при ограничении x^2yz = 7000, воспользуемся методом множителей Лагранжа:

1. Составим функцию Лагранжа: L(x, y, z, λ) = 4x + 9y + 8z + λ(x^2yz - 7000)

2. Найдем частные производные функции Лагранжа по переменным x, y, z и λ: dL/dx = 4 + 2λxyz = 0 dL/dy = 9 + λx^2z = 0 dL/dz = 8 + λx^2y = 0 dL/dλ = x^2yz - 7000 = 0

3. Решим полученную систему уравнений относительно x, y, z и λ: из уравнения dL/dx = 4 + 2λxyz = 0 получаем x = -2λyz подставляем x в уравнение dL/dy = 9 + λx^2z = 0 и получаем -18λ^2yz^2z + 9 = 0, откуда λ^2 = 1/2z^2 подставляем x в уравнение dL/dz = 8 + λx^2y = 0 и получаем -16λ^2y^2z + 8 = 0, откуда λ^2 = 1/2y^2 подставляем λ^2 из двух последних уравнений в уравнение dL/dλ = x^2yz - 7000 = 0 и получаем z^3y^3 = 7000 подставляем найденное значение λ^2 в выражения для x и для λ и получаем x = ±2yz/√2, λ = ±1/zy√2

4. Проверим, что найденное решение действительно является экстремумом функции u(x, y, z) при заданном ограничении: для этого вычислим вторые производные функции Лагранжа и определим знак выражения D = d^2L/dx^2 * d^2L/dy^2 - (d^2L/dx*dz)^2:

d^2L/dx^2 = 2λyz, d^2L/dy^2 = λx^2z, d^2L/dz^2 = λx^2y, d^2L/dxdy = d^2L/dydx = 2λxz, d^2L/dxdz = d^2L/dzdx = 2λxy, d^2L/dydz = d^2L/dzdy = λx^2 подставляем найденные значения для x, y, z и λ в эти выражения и получаем: d^2L/dx^2 = 4/y^2, d^2L/dy^2 = 9/z^2, d^2L/dz^2 =